Mostre que os limites não existem
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Quando queremos mostrar que um limite não existe em múltiplas variáveis, uma boa estratégia é calcular o limite ao se aproximar do ponto alvo por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que resultam em limites diferentes, então podemos concluir que o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos simples para nos aproximarmos de
:
- Caminho 1: Ao longo do eixo
, ou seja, quando . - Caminho 2: Ao longo do eixo
, ou seja, quando .
Passo 4
Vamos calcular o limite para cada um desses caminhos.
Caminho 1:
Caminho 2:
Passo 5
Observamos que ao nos aproximarmos de
pelo Caminho 1, o limite é 2, e pelo Caminho 2, o limite é -
. Como esses dois valores são diferentes, isso indica que o limite geral depende do caminho escolhido.
Resposta
Como os limites ao se aproximar por diferentes caminhos são diferentes, concluímos que o limite
não existe.