Mostre que os limites não existem
lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o limite da função 2x^2 - y^2x^2 + 2y^2 quando (x, y) se aproxima de (0, 0) não existe. Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de (0, 0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Quando queremos mostrar que um limite não existe em múltiplas variáveis, uma boa estratégia é calcular o limite ao se aproximar do ponto alvo por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que resultam em limites diferentes, então podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos simples para nos aproximarmos de (0, 0):
  1. Caminho 1: Ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0.
  2. Caminho 2: Ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite para cada um desses caminhos.
Caminho 1: y = 0
lim(x, 0) to (0, 0) 2x^2 - 0^2x^2 + 2 cdot 0^2 = limx to 0 2x^2x^2 = limx to 0 2 = 2
Caminho 2: x = 0
lim(0, y) to (0, 0) 2 cdot 0^2 - y^20^2 + 2y^2 = limy to 0 -y^22y^2 = limy to 0 -12 = -12

Passo 5

Observamos que ao nos aproximarmos de (0, 0) pelo Caminho 1, o limite é 2, e pelo Caminho 2, o limite é - 12. Como esses dois valores são diferentes, isso indica que o limite geral depende do caminho escolhido.

Resposta

Como os limites ao se aproximar por diferentes caminhos são diferentes, concluímos que o limite lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2 não existe.

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