Resolva as seguintes equações:
c y^prime prime-4 y^prime+4 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0 g(t)=rl e^4 t & 0 <= t<2 0 & t >= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-4y'+4y=g(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde o termo forçante é a função por partes
g(t)=e^4t,&0<= t<2,0,&t>=2
O conteúdo que vamos usar é a transformada de Laplace para resolver EDOs não homogêneas e depois aplicar condições iniciais.

Passo 2

Para usar transformada de Laplace, aplicamos L em ambos os lados da EDO. Lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0),
e as demais transformadas são diretas. Como y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s)-4l(sY(s)r)+4Y(s)= Lg(t)
Agrupando, fica
(s^2-4s+4)Y(s)=G(s)

Passo 3

Precisamos agora de G(s)= Lg(t)=integral0^2 e^-ste^4t,dt=integral0^2 e^(4-s)t,dt. Fazendo a primitiva,
G(s)=e^(4-s)t4-s|0^2=e^(4-s)2-14-s

Passo 4

Então
Y(s)=G(s)(s-2)^2=1(s-2)^2;e^(4-s)2-14-s
Vamos separar em duas partes para inverter a transformada: uma sem retardo (–1) e outra com e^(4-s)2.

Passo 5

Para o trecho sem retardo, temos
$$\frac{-1}{4-s}\frac{1}{(s-2)^2}= rac{1}{s-4}\frac{1}{(s-2)^2}.
-14-s1(s-2)^2= rac1s-41(s-2)^2 çãáy_1(t)=\frac{e{4t}-e{2t}-2te^{2t}}{4},\quad 0\le t<2.$$

Passo 6

Para o trecho com retardo, note que
$$\frac{e{(4-s)2}}{4-s}\frac{1}{(s-2)2}=e{-2s};\frac{e{8}}{4-s}\frac{1}{(s-2)^2}.
e^(4-s)24-s1(s-2)^2=e^-2s;e^84-s1(s-2)^2 çãy_2(t)=u(t-2)\Bigl[\frac{e{4\cdot2}-e{2\cdot2}-2\cdot2e^{2\cdot2}}{4}+ (t-2)e{2(t-2)}(e{8}-3e4)\Bigr]e{2(t-2)}.$$

Passo 7

Juntando as duas partes, a solução final é peça-por-peça. Não há resposta antes de t=0. Para
0<= t<2 temos
y(t)=e^4t-e^2t-2te^2t4,
e para
t>=2 fica
y(t)=l[e^8-5e^44+(e^8-3e^4)(t-2)r]e^2(t-2)

Resposta

y(t)=

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