Resolva as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde o termo forçante é a função por partes
O conteúdo que vamos usar é a transformada de Laplace para resolver EDOs não homogêneas e depois aplicar condições iniciais.
Passo 2
Para usar transformada de Laplace, aplicamos
em ambos os lados da EDO. Lembrando que
e as demais transformadas são diretas. Como
Agrupando, fica
Passo 3
Precisamos agora de
. Fazendo a primitiva,
Passo 4
Então
Vamos separar em duas partes para inverter a transformada: uma sem retardo (–1) e outra com
Passo 5
Para o trecho sem retardo, temos
$$\frac{-1}{4-s}\frac{1}{(s-2)^2}=rac{1}{s-4}\frac{1}{(s-2)^2}.
Passo 6
Para o trecho com retardo, note que
$$\frac{e{(4-s)2}}{4-s}\frac{1}{(s-2)2}=e{-2s};\frac{e{8}}{4-s}\frac{1}{(s-2)^2}.
Passo 7
Juntando as duas partes, a solução final é peça-por-peça. Não há resposta antes de
t=0 . Para
0<= t<2 temos
e para
Resposta
y(t)=