Usando método da redução de ordem, determine a solução geral de:
x y^prime+(2+x) y^prime+y=e^-x, x>0, sendo y1(x)=1 / x uma solução da homogênea correspondente.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
x,y''+(2+x),y'+y=e^-x, x>0,
e informa que uma solução da homogênea associada é
y1(x)=1x
O que precisamos fazer é: 1) achar a segunda solução y2(x) da homogênea por redução de ordem; 2) obter uma solução particular yp(x) da não homogênea (usando variação de constantes); 3) somar tudo para ter a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma normal dividindo por x:
y''+2+xx,y'+1x,y=e^-xx
Assim temos
P(x)=2+xx, Q(x)=1x, R(x)=e^-xx

Passo 3

Para achar a segunda solução y2 da homogênea usamos a fórmula
y2(x) = y1(x)integral exp!l(-integral P(x),dxr)y1(x)^2,dx
Calculemos
integral P(x),dx =integrall(1+2xr),dx =x+2ln x,
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expl(-!integral P,dxr) =e^-x,x^-2
Então
y2(x) =1xintegral e^-xx^-2(1/x)^2,dx =1xintegral e^-x,dx =1x(-e^-x) =-e^-xx
Podemos tomar
y2(x)=e^-xx

Passo 4

Agora usamos variação de constantes para encontrar
com o sistema
O Wronskiano das soluções homogêneas é
As fórmulas para são
]

Passo 5

Substituindo y1,y2,R,W:
u1'=-tfrace^-xx,tfrace^-xx -tfrace^-xx^2 =e^-x, u2'=tfrac1x,tfrace^-xx -tfrace^-xx^2 =-1
Integrando, escolhemos as constantes de integração nulas para uma particular:
u1(x)=-e^-x, u2(x)=-x
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yp =(-e^-x)1x+(-x)e^-xx =-e^-xx-e^-x

Passo 6

A solução geral é
y(x)=yh+yp =C11x+C2e^-xx -l(e^-xx+e^-xr)
Opcionalmente podemos reescrever combinando constantes, mas esta forma já dá a solução completa.

Resposta

boxedy(x)=C11x+C2e^-xx-l(e^-xx+e^-xr), x>0

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