Considere o problema de valor inicial
4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=2 .
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Determine as coordenadas \left(t_{0}, y_{0}\right) do ponto de máximo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
4y''+4y'+y=0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=2,
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e em seguida encontrar o ponto de máximo de y(t). Vamos usar o método da equação característica para a parte (a) e depois derivar para achar o máximo na parte (b).

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
4y''+4y'+y=0
fazendo y=e^{rt}, o que dá
4r^2+4r+1=0.
O discriminante é \Delta=4^2-4\cdot4\cdot1=16-16=0, logo há uma raiz dupla
r=-\frac{4}{2\cdot4}=-\frac12.

Passo 3

Para raiz dupla r=-\tfrac12, a solução geral é
y(t)=\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-t/2}.

Passo 4

Aplicando as condições iniciais:
y(0)=C_1\cdot e^0=1\quad\Longrightarrow\quad C_1=1.
Para y'(t), usamos produto e cadeia:
y'(t)=\frac{d}{dt}\Bigl[(1+C_2t)e^{-t/2}\Bigr] =e^{-t/2}\Bigl(C_2-\tfrac12(1+C_2t)\Bigr).
Em t=0 isso vira
y'(0)=C_2-\tfrac12\cdot1=2 \quad\Longrightarrow\quad C_2=2+\tfrac12=\tfrac52.

Passo 5

Substituindo C_1=1 e C_2=\tfrac52, a solução do problema de valor inicial é
y(t)=\Bigl(1+\tfrac52\,t\Bigr)e^{-t/2}.

Passo 6

Para achar o ponto de máximo, igualamos y'(t)=0. Como
y'(t)=e^{-t/2}\Bigl(\tfrac52-\tfrac12(1+\tfrac52t)\Bigr),
basta zerar o parêntese:
\tfrac52-\tfrac12-\tfrac52\cdot\tfrac12\,t=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\cdot\tfrac52-(1+\tfrac52t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac52t=2\cdot\tfrac52-1=5-1=4
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t_0=\frac{4}{\tfrac52}=\frac{8}{5}.

Passo 7

Finalmente, calculamos
y_0=y\bigl(t_0\bigr) =\Bigl(1+\tfrac52\cdot\tfrac{8}{5}\Bigr)e^{-\tfrac{8}{5}\,/2} =\bigl(1+4\bigr)e^{-4/5} =5e^{-4/5}.

Resposta

(a) \displaystyle y(t)=\bigl(1+\tfrac52\,t\bigr)e^{-t/2}.
(b) O ponto de máximo é \displaystyle\bigl(t_0,y_0\bigr)=\bigl(\tfrac{8}{5},\,5e^{-4/5}\bigr).

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