Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Determine as coordenadas
do ponto de máximo.
(b) Determine as coordenadas
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e em seguida encontrar o ponto de máximo de
. Vamos usar o método da equação característica para a parte (a) e depois derivar para achar o máximo na parte (b).
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a
fazendo
, o que dá
O discriminante é
, logo há uma raiz dupla
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral é
Passo 4
Aplicando as condições iniciais:
Para
, usamos produto e cadeia:
Em
isso vira
Passo 5
Substituindo
e
, a solução do problema de valor inicial é
Passo 6
Para achar o ponto de máximo, igualamos
. Como
basta zerar o parêntese:
logo
Passo 7
Finalmente, calculamos
Resposta
(a)
(b) O ponto de máximo é
(b) O ponto de máximo é