Encontre a solução do problema de valor inicial. y^{\prime \prime}+y=0, \quad y(\pi / 3)=0, y^{\prime}(\pi / 3)=-4.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 0,
sujeita às condições y(\pi/3)=0 e y'(\pi/3)=-4. Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução geral usando as raízes complexas da equação característica e depois ajustar as constantes via as condições iniciais.
Passo 2
A equação característica é
r^2 + 1 = 0,
cuja solução é r = \pm i. Logo, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = A \cos x + B \sin x,
onde A e B são constantes a determinar.
Passo 3
Calculamos a derivada
y'(x) = -A \sin x + B \cos x.
Em x = \pi/3\), as condições iniciais geram o sistema
\[\begin{cases} y(\pi/3)=A\cos(\pi/3)+B\sin(\pi/3)=0,\\\ y'(\pi/3)=-A\sin(\pi/3)+B\cos(\pi/3)=-4. \end{cases}
Como \cos(\pi/3)=\tfrac12\] e \(\sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}2, multiplicando cada equação por 2, obtemos
\begin{cases} A + B\sqrt{3} = 0,\\\\ -\,A\sqrt{3} + B = -8. \end{cases}
Passo 4
Da primeira equação segue A = -B\sqrt{3}. Substituindo na segunda:
-(-B\sqrt{3})\sqrt{3} + B = -8 \quad\Longrightarrow\quad 3B + B = -8 \quad\Longrightarrow\quad 4B = -8 \quad\Longrightarrow\quad B = -2.