Resolva o problema de valor inicial 4 y^{\prime \prime}-y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=\beta. Depois, encontre \beta de modo que a solução tenda a zero quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
4\,y'' - y = 0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=\beta
e depois determinar o valor de \beta que faz com que a solução tenda a zero quando t\to\infty.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: vamos usar a equação característica para obter a solução geral e então aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada a
4\,y'' - y = 0
substituindo y=e^{rt}, o que dá
4\,r^2 - 1 = 0.
Portanto
r^2 = \tfrac14,\quad r = \pm \tfrac12.
Logo a solução geral é
y(t) = C_1\,e^{t/2} + C_2\,e^{-t/2}.

Passo 3

Calculamos y'(t) para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = \tfrac12\,C_1\,e^{t/2} \;-\;\tfrac12\,C_2\,e^{-t/2}.
Em t=0 temos
y(0)=C_1 + C_2 = 2,
y'(0)=\tfrac12\,C_1 - \tfrac12\,C_2 = \beta.
Multiplicando a segunda por 2, obtemos
C_1 - C_2 = 2\,\beta.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\ C_1 - C_2 = 2\,\beta, \end{cases}
segue que
C_1 = 1 + \beta,\quad C_2 = 1 - \beta.
Assim
y(t) = (1+\beta)\,e^{t/2} + (1-\beta)\,e^{-t/2}.

Passo 4

Para que y(t)\to0 quando t\to\infty, é preciso eliminar a parte crescente e^{t/2}. Isso exige
1 + \beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -1.
Com \beta=-1, a solução fica
y(t) = 2\,e^{-t/2},
que de fato tende a zero conforme t\to\infty.

Resposta

\beta = -1

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