Resolva o problema de valor inicial
. Depois, encontre
de modo que a solução tenda a zero quando
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
e depois determinar o valor de
que faz com que a solução tenda a zero quando
.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: vamos usar a equação característica para obter a solução geral e então aplicar as condições iniciais.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: vamos usar a equação característica para obter a solução geral e então aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica associada a
substituindo
, o que dá
Portanto
Logo a solução geral é
Passo 3
Calculamos
para aplicar as condições iniciais:
Em
temos
Multiplicando a segunda por 2, obtemos
Resolvendo o sistema
segue que
Assim
Passo 4
Para que
quando
, é preciso eliminar a parte crescente
. Isso exige
Com
, a solução fica
que de fato tende a zero conforme
.