Responda as seguintes questões:
y_{1}(x)=e^{5 x} e y_{2}(x)=e^{-3 x} são soluções fundamentais da EDO y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-15 y=0 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem
y'' - 2y' - 15y = 0
e propõe duas funções \,y_{1}(x)=e^{5x} e \,y_{2}(x)=e^{-3x}. Precisamos verificar (i) se cada uma é solução da EDO e (ii) se são linearmente independentes, para então concluir se são soluções fundamentais.

Passo 2

Para \,y_{1}(x)=e^{5x}: calculamos
y_{1}'(x)=5e^{5x},
y_{1}''(x)=25e^{5x}.
Substituindo na EDO:
y_{1}'' - 2y_{1}' - 15y_{1} = (25 - 2\cdot5 - 15)\,e^{5x} = (25 - 10 - 15)\,e^{5x} = 0,
logo \,y_{1} é solução.

Passo 3

Para \,y_{2}(x)=e^{-3x}: calculamos
y_{2}'(x)=-3e^{-3x},
y_{2}''(x)=9e^{-3x}.
Substituindo na EDO:
y_{2}'' - 2y_{2}' - 15y_{2} = (9 - 2\cdot(-3) - 15)\,e^{-3x} = (9 + 6 - 15)\,e^{-3x} = 0,
logo \,y_{2} é solução.

Passo 4

Para verificar independência linear, calculamos o wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x) =\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} =e^{5x}(-3e^{-3x}) - e^{-3x}(5e^{5x}) =-8e^{2x}.
Como W(y_{1},y_{2})(x)\neq 0 para todo x, as funções são linearmente independentes.

Resposta

Sim. As funções y_{1}(x)=e^{5x} e y_{2}(x)=e^{-3x} satisfazem a EDO e têm wronskiano não nulo, portanto formam um conjunto de soluções fundamentais.

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