Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.
(b) Determine as coordenadas
do ponto de máximo.
(c) Mude a segunda condição inicial para
e encontre a solução como função de
.
(d) Encontre as coordenadas do ponto de máximo
em função de
. Descreva a dependência em
de
e de
quando
aumenta.
(b) Determine as coordenadas
(c) Mude a segunda condição inicial para
(d) Encontre as coordenadas do ponto de máximo
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com condição inicial
e duas variações para a segunda condição: (i)
(para as partes (a) e (b)) e (ii)
(para as partes (c) e (d)).
As perguntas são:
(a) resolver o PVI com e fazer o gráfico da solução;
(b) encontrar as coordenadas do ponto de máximo para esse caso;
(c) resolver o PVI em função de ;
(d) achar em função de
e descrever como
e
variam quando
aumenta.
As perguntas são:
(a) resolver o PVI com
(b) encontrar as coordenadas do ponto de máximo
(c) resolver o PVI em função de
(d) achar
Passo 2
Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes. Primeiro escrevemos a equação característica associada:
Isso é uma quadrática; calculemos o discriminante
:
Como
, a raiz é dupla. A raiz
vale
Para uma raiz dupla
a forma geral da solução da equação homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Explicação curta: para raiz simples usamos
; para raiz de multiplicidade 2 multiplicamos por
um dos termos, por isso aparece
.)
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais do caso (a), isto é
e
, para encontrar
e
.
Primeiro calculemos
:
Como
, segue
Agora precisamos de
. Diferenciando
usamos a regra do produto. Faça passo a passo:
Colocando em evidência
:
Agora tome
:
Como
e
, obtemos
Portanto a solução do PVI (caso (a)) é
Passo 4
Descrição do gráfico da solução (caso (a)): como
, temos uma combinação de um polinômio de grau 1 com um decaimento exponencial. Características principais:
-
. - A derivada inicial
faz a curva subir no início. - Como
quando , a solução tende a para . - Logo a curva sobe até um máximo em algum
e depois decai monotonamente para .
Para desenhar: marque; que vamos calcular no Passo 5 e o valor máximo ; depois trace uma subida suave até e decaimento exponencial depois.
Passo 5
Agora encontramos o ponto de máximo do caso (a) (isto é parte (b)). Um ponto extremo ocorre quando
. Usamos a expressão geral da derivada obtida no Passo 3, com
e
:
Como
para todo
, a condição
equivale a zerar o parêntese:
Resolva para
:
Podemos reescrever de forma simples:
Para
e
obtemos
Agora calcule
. Substituímos em
. Primeiro calcule o fator linear em
:
Então
Valor numérico aproximado (se quiser conferir) é
Passo 6
Parte (c): refaça as contas com
. Já temos a solução geral
e
. Para a segunda constante, com a expressão de
:
Como
,
Portanto a solução em função de
é
Passo 7
Parte (d): encontrando o ponto de máximo em função de
. Usamos novamente a condição
com
e
. Usando a fórmula geral do Passo 5:
Simplificando a fração
dá
Agora calcule
. Note uma simplificação prática: usando
e
obtemos
Logo
e assim
Como
, podemos escrever
Agora descrevemos a dependência de
e
quando
aumenta.
- Monotonicidade de
. Diferencie:
Portanto
é estritamente crescente em
. Limites:
Assim, ao aumentar
o tempo onde ocorre o máximo desloca-se monotonicamente de
para valores cada vez maiores, aproximando-se assintoticamente de
.
- Monotonicidade de
. É conveniente ver a variação de :
Differentie:
Como
, isso é
Portanto
é crescente, logo
é crescente em
. Limites:
Comportamento assintótico para
grande: para
,
Resumo verbal: ao aumentar
o tempo do máximo
cresce monotonicamente de
para
(jamais ultrapassa
), e a altura do máximo
também cresce monotonamente, partindo de
em
e crescendo sem limite (com crescimento aproximadamente linear em
para
grande).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
Descrição: e
são ambas estritamente crescentes em
;
;
(e para
grande
).
(b)
(c)
(d)
Descrição: