Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(4 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=0)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
4\,y''+12\,y'+9\,y=0.
Informações dadas: é uma equação diferencial linear de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes. Não há condições iniciais; portanto precisamos da solução geral com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e por que usar): para equações lineares com coeficientes constantes é eficiente tentar soluções da forma
y(x)=e^{r x},
onde \,r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que isso funciona? Porque derivando exponenciais obtemos a mesma função multiplicada por constantes: \frac{d}{dx}e^{r x}=r e^{r x} e \frac{d^2}{dx^2}e^{r x}=r^2 e^{r x}. Substituindo no lado esquerdo da equação, todos os termos ficam proporcionais a e^{r x} e podemos fatorá-lo, reduzindo a equação diferencial a uma equação algébrica para r (a chamada equação característica).
Passo 3
Derivadas e substituição: suponha y=e^{r x}. Então
y'=r e^{r x},\qquad y''=r^2 e^{r x}.
Substituindo em \,4y''+12y'+9y=0 obtemos
4(r^2 e^{r x})+12(r e^{r x})+9(e^{r x})=0.
Fatorando e^{r x} (que nunca é zero), vem a equação característica
4r^2+12r+9=0.
Passo 4
Resolver a equação característica: é uma quadrática. Calcule o discriminante
Explicação curta e verificação: podemos verificar que y_2(x)=x e^{r x} é solução fazendo derivadas e substituindo, ou usar um resultado padrão (redução de ordem). Uma verificação rápida do fato de serem independentes é calcular o Wronskiano:
W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} e^{r x} & x e^{r x} \\\ r e^{r x} & e^{r x}+r x e^{r x}\end{vmatrix} = e^{2 r x}\neq 0,
logo são linearmente independentes para todo x. Portanto a solução geral é uma combinação linear dessas duas.
Passo 6
Aplicando aqui r=-\dfrac{3}{2}, a solução geral fica
y(x)=\left(C_1 + C_2 x\right)e^{-\tfrac{3}{2}x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias reais. Isso é o conjunto de todas as soluções da equação diferencial dada.