Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(25 y^{\prime \prime}-20 y^{\prime}+4 y=0)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a solução geral da equação diferencial dada.” A equação fornecida é
25\,y'' - 20\,y' + 4\,y = 0.
Informações importantes que o enunciado dá:
\text{coeficientes: } 25 \text{ para } y'',\; -20 \text{ para } y',\; 4 \text{ para } y.
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) desta equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, passo a passo): tentamos soluções da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
porque derivadas de e^{r x} são múltiplos fáceis de e^{r x}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Vamos substituir y=e^{r x} e calcular y' e y'':
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial obtemos (colocando e^{r x} em evidência):
25(r^{2} e^{r x}) -20(r e^{r x}) +4(e^{r x}) = 0
\Rightarrow e^{r x}\bigl(25r^{2} -20r +4\bigr)=0.
Como e^{r x} nunca é zero, ficamos com a equação característica (polinomial):
25r^{2} -20r +4 = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática \;25r^{2} -20r +4 = 0. Para isso usemos o discriminante
\Delta = b^{2} - 4ac,
onde, nesta equação, a=25, b=-20, c=4. Calculamos:
\Delta = (-20)^{2} - 4\cdot 25 \cdot 4 = 400 - 400 = 0.
Como \Delta=0, a equação característica tem uma raiz real dupla. A raiz, quando \Delta=0, é
r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2\cdot 25} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}.
Portanto o valor encontrado é r=\dfrac{2}{5} com multiplicidade 2.

Passo 4

Interpretação da raiz dupla e forma da solução geral (aula curta sobre o caso de multiplicidade): quando a equação característica de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem duas raízes reais distintas r_{1},r_{2}, a solução geral é
y = C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x}.
Quando as duas raízes coincidem, isto é, há uma raiz real r de multiplicidade 2, as soluções independentes são
y_{1}(x)=e^{r x}\quad\text{e}\quad y_{2}(x)=x e^{r x},
e a solução geral é
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2} x\bigr) e^{r x}.
Vou justificar rapidamente por que x e^{r x} é uma segunda solução independente quando a raiz é dupla: calcule para y(x)=x e^{r x},
y' = e^{r x} + r x e^{r x},\qquad y'' = 2r e^{r x} + r^{2} x e^{r x}.
Substituindo na parte linear da equação diferencial obtemos (colocando e^{r x} em evidência)
25y'' -20y' +4y = e^{r x}\Bigl((50r-20) + x(25r^{2}-20r+4)\Bigr).
Se r é raiz da característica, então 25r^{2}-20r+4=0. Além disso, para a nossa raiz r=\dfrac{2}{5} verifica-se 50r-20=50\cdot\dfrac{2}{5}-20=20-20=0. Portanto a expressão inteira é zero, o que prova que x e^{r x} também satisfaz a equação diferencial. Assim as duas funções são soluções e são linearmente independentes, dando a forma geral acima.

Passo 5

Aplicando o resultado ao nosso caso, com r=\dfrac{2}{5}, a solução geral da equação dada é
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2} x\bigr) e^{\tfrac{2}{5}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{\tfrac{2}{5}x}

Exercícios relacionados