Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(25 y^{\prime \prime}-20 y^{\prime}+4 y=0)
(25 y^{\prime \prime}-20 y^{\prime}+4 y=0)
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a solução geral da equação diferencial dada.” A equação fornecida é
Informações importantes que o enunciado dá:
O objetivo é encontrar a solução geral
desta equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, passo a passo): tentamos soluções da forma exponencial
porque derivadas de
são múltiplos fáceis de
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Vamos substituir
e calcular
e
:
Substituindo na equação diferencial obtemos (colocando
em evidência):
Como
nunca é zero, ficamos com a equação característica (polinomial):
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
Para isso usemos o discriminante
onde, nesta equação,
,
,
. Calculamos:
Como
, a equação característica tem uma raiz real dupla. A raiz, quando
, é
Portanto o valor encontrado é
com multiplicidade
.
Passo 4
Interpretação da raiz dupla e forma da solução geral (aula curta sobre o caso de multiplicidade): quando a equação característica de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem duas raízes reais distintas
, a solução geral é
Quando as duas raízes coincidem, isto é, há uma raiz real
de multiplicidade
, as soluções independentes são
e a solução geral é
Vou justificar rapidamente por que
é uma segunda solução independente quando a raiz é dupla: calcule para
,
Substituindo na parte linear da equação diferencial obtemos (colocando
em evidência)
Se
é raiz da característica, então
. Além disso, para a nossa raiz
verifica-se
. Portanto a expressão inteira é zero, o que prova que
também satisfaz a equação diferencial. Assim as duas funções são soluções e são linearmente independentes, dando a forma geral acima.
Passo 5
Aplicando o resultado ao nosso caso, com
, a solução geral da equação dada é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).