Determine a ordem das equações e diga se são lineares ou não lineares.
t^{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+t \frac{d y}{d t}+2 y=\sin t;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial dada:
t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+2y=\sin t.
  • Determinar a ordem da equação.
  • Dizer se a equação é linear ou não linear.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Aparece a derivada segunda \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}} e a derivada primeira \dfrac{dy}{dt}.
  • Os coeficientes das derivadas e de y são t^{2}, t e 2, respectivamente (funções de t ou constantes).
  • O termo do lado direito é \sin t (função conhecida de t).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem de uma equação diferencial é o maior número de deriva­das da função desconhecida que aparece na equação.
  • Por exemplo, se a maior derivada presente for \dfrac{d^{3}y}{dt^{3}}, a equação é de ordem 3.
Aplicando essa definição: na equação dada aparece \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}} (segunda derivada) e não aparece nenhuma derivada de ordem maior. Logo a ordem é \,2.

Passo 3

Agora, o que significa “linear” versus “não linear”? Vou explicar passo a passo, bem devagar.
  • Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida y(t) e todas as suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares (isto é, como termos do tipo coeficiente(t) vezes y, coeficiente(t) vezes \dfrac{dy}{dt}, etc.), sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências não unitárias de y (como y^{2}), sem funções não-lineares de y (como \sin y, e^{y}), nem termos como \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}.
  • A forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n é
a_n(t)\frac{d^{n}y}{dt^{n}}+a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1(t)\frac{dy}{dt}+a_0(t)y = g(t),
onde os a_k(t) e g(t) são funções conhecidas de t (podem ser constantes) — crucial: os coeficientes dependem só de t, não de y.

Passo 4

Vamos verificar termo a termo na equação dada se ela se encaixa na forma linear acima. A equação é
t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+2y=\sin t.
  • O coeficiente da derivada de ordem 2 é a_2(t)=t^{2} (função de t apenas).
  • O coeficiente da derivada de ordem 1 é a_1(t)=t (função de t apenas).
  • O coeficiente do próprio y é a_0(t)=2 (constante).
  • O lado direito é g(t)=\sin t, que depende somente de t.
    Não há nenhum produto como y\cdot \dfrac{dy}{dt}, nem potências como y^{2}, nem termos \sin y ou \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}. Todos os termos envolvendo y ou suas derivadas aparecem multiplicados por funções de t (ou constante) apenas.
Portanto, segundo a definição, a equação é linear.

Passo 5

Às vezes é útil escrever a equação na forma padrão (coeficiente da derivada de maior ordem igual a 1). Dividindo tudo por t^{2} (quando t\neq 0) obtemos:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{2}{t^{2}}y=\frac{\sin t}{t^{2}}.
Essa escrita deixa claro que os coeficientes são funções de t apenas, reforçando que é linear. Observação: a divisão por t^{2} não é válida em t=0, então t=0 é um ponto singulare — isso é uma questão de domínio/regularidade, mas não muda a linearidade da equação onde ela está definida.

Passo 6

Dou mais alguns exemplos rápidos para fixar a diferença entre linear e não linear:
  • Exemplo linear: \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\dfrac{dy}{dt}+q(t)y=r(t) — linear porque y e derivadas aparecem só de forma linear.
  • Exemplo não linear: \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}+y\frac{dy}{dt}=0 — não linear porque há produto y\cdot \dfrac{dy}{dt}.
  • Exemplo não linear: \dfrac{dy}{dt}=\sin(y) — não linear porque aparece \sin(y), função não linear de y.

Resposta

Ordem: 2
Linear: linear

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