Determine a ordem das equações e diga se são lineares ou não lineares.
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial dada:
- Determinar a ordem da equação.
- Dizer se a equação é linear ou não linear.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Aparece a derivada segunda
e a derivada primeira . - Os coeficientes das derivadas e de
são , e , respectivamente (funções de ou constantes). - O termo do lado direito é
(função conhecida de ).
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função desconhecida que aparece na equação.
- Por exemplo, se a maior derivada presente for
, a equação é de ordem .
Aplicando essa definição: na equação dada aparece
(segunda derivada) e não aparece nenhuma derivada de ordem maior. Logo a ordem é
.
Passo 3
Agora, o que significa “linear” versus “não linear”? Vou explicar passo a passo, bem devagar.
- Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida
e todas as suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares (isto é, como termos do tipo coeficiente(t) vezes , coeficiente(t) vezes , etc.), sem produtos entre e suas derivadas, sem potências não unitárias de (como ), sem funções não-lineares de (como , ), nem termos como . - A forma geral de uma equação diferencial linear de ordem
é
onde os
e
são funções conhecidas de
(podem ser constantes) — crucial: os coeficientes dependem só de
, não de
.
Passo 4
Vamos verificar termo a termo na equação dada se ela se encaixa na forma linear acima. A equação é
- O coeficiente da derivada de ordem
é (função de apenas). - O coeficiente da derivada de ordem
é (função de apenas). - O coeficiente do próprio
é (constante). - O lado direito é
, que depende somente de .
Não há nenhum produto como, nem potências como , nem termos ou . Todos os termos envolvendo ou suas derivadas aparecem multiplicados por funções de (ou constante) apenas.
Portanto, segundo a definição, a equação é linear.
Passo 5
Às vezes é útil escrever a equação na forma padrão (coeficiente da derivada de maior ordem igual a
). Dividindo tudo por
(quando
) obtemos:
Essa escrita deixa claro que os coeficientes são funções de
apenas, reforçando que é linear. Observação: a divisão por
não é válida em
, então
é um ponto singulare — isso é uma questão de domínio/regularidade, mas não muda a linearidade da equação onde ela está definida.
Passo 6
Dou mais alguns exemplos rápidos para fixar a diferença entre linear e não linear:
- Exemplo linear:
— linear porque e derivadas aparecem só de forma linear. - Exemplo não linear:
— não linear porque há produto . - Exemplo não linear:
— não linear porque aparece , função não linear de .
Resposta
Ordem:
Linear: linear
Linear: linear