Considere o problema de valor inicial
4 y^prime prime+12 y^prime+9 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=-4
Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico de sua solução para 0 <= t <= 5.

Passo 1

A equação é uma ODE linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes: queremos achar y(t) tal que
4y''+12y'+9y=0,
sujeito a y(0)=1 e y’(0)=−4. Vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt}:
4r^2+12r+9=0
Calculamos o discriminante: Δ=12^2−4·4·9=144−144=0, logo há raiz dupla.

Passo 3

Como a raiz é r=−12/(2·4)=−3/2 (dupla), a solução geral é da forma
y(t)=C1e^-3t/2+C2t e^-3t/2

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=C_1=1. Em seguida derivamos:
y'(t)=C1l(-tfrac32r)e^-3t/2+C2e^-3t/2+C2tl(-tfrac32r)e^-3t/2
Em t=0: y’(0)=−\tfrac32·1 + C_2 =−4 ⇒ C_2=−4+3/2=−5/2.

Passo 5

Portanto a solução exata é
boxedy(t)=e^-3t/2l(1-tfrac52 tr)
Para visualizar de 0≤t≤5, pode usar Python por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0,5,500)
y = np.exp(-1.5*t)*(1 - 2.5*t)
plt.plot(t,y)
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.5)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução y(t) no intervalo [0,5]')
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

y(t)=e^{-3t/2}\bigl(1-\tfrac52 t\bigr)

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