Considere o problema de valor inicial
Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico de sua solução para
.
Passo 1
A equação é uma ODE linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes: queremos achar y(t) tal que
sujeito a y(0)=1 e y’(0)=−4. Vamos usar a técnica da equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt}:
Calculamos o discriminante: Δ=12^2−4·4·9=144−144=0, logo há raiz dupla.
Passo 3
Como a raiz é r=−12/(2·4)=−3/2 (dupla), a solução geral é da forma
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=C_1=1. Em seguida derivamos:
Em t=0: y’(0)=−\tfrac32·1 + C_2 =−4 ⇒ C_2=−4+3/2=−5/2.
Passo 5
Portanto a solução exata é
Para visualizar de 0≤t≤5, pode usar Python por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0,5,500)
y = np.exp(-1.5*t)*(1 - 2.5*t)
plt.plot(t,y)
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.5)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução y(t) no intervalo [0,5]')
plt.grid(True)
plt.show()
Resposta
y(t)=e^{-3t/2}\bigl(1-\tfrac52 t\bigr)