Mostre que a função f(x, y)=c(x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) 0 se (x, y) neq(0,0) se (x, y)=(0,0) é diferenciável em ( 0,0 ), mas não é de classe C^1.

Passo 1

A função é definida por
f(x,y)=(x^2+y^2),sinl(1/(x^2+y^2)r)&se (x,y)neq(0,0),0&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo é diferenciabilidade em (0,0) e classe C^1. Vamos usar a definição de derivada parcial por limite e a definição de diferenciabilidade via aproximação linear.

Passo 2

Para calcular fx(0,0) usamos
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^2sin(1/h^2)h =limhto0hsin(1/h^2) =0
De modo análogo, fy(0,0)=0.

Passo 3

Agora mostramos que o termo de resto é o(|(h,k)|). Note que se (h,k)neq(0,0) então
f(h,k)-0-0cdot h-0cdot kraizh^2+k^2 =(h^2+k^2)sinl(1/(h^2+k^2)r)raizh^2+k^2 =raizh^2+k^2;sinl(1/(h^2+k^2)r)
Como l|raizh^2+k^2sin(1/(h^2+k^2))r|<=raizh^2+k^2to0, segue que f é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é a forma linear nula.

Passo 4

Para ver que não é C^1, calcule partialxf ao longo da reta y=0, xneq0:
f(x,0)=x^2sin(1/x^2),
então
partialxf(x,0)=2xsin(1/x^2)+x^2cos(1/x^2)(-2x^-3) =2xsin(1/x^2)-2cos(1/x^2)x
O termo -2cos(1/x^2)/x oscila com amplitude que cresce sem limite quando xto0, logo partialxf(x,0) não tem limite em 0.

Passo 5

Como a derivada parcial partialxf não é contínua em (0,0), f não pertence a C^1 mesmo sendo differentiável em (0,0).

Resposta

f é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo, mas não é de classe C¹ pois suas derivadas parciais não são contínuas em (0,0).

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