Determine o volume dos seguintes sólidos;
(b) Limitado superiormente por z=3 x^2+y^2 e inferiormente pela região limitada por y=x e x=y^2-y.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido que está abaixo da superfície z=3x^2+y^2 e acima da região plana D limitada pelas curvas y=x e x=y^2-y. Vamos usar integrais duplas para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, identificamos a região D no plano xy. As fronteiras são dadas por y=x e x=y^2-y. Para achar os pontos de interseção, substituímos x=y em x=y^2-y:
y=y^2-y implies y^2-2y=0 implies y(y-2)=0
Logo, y=0 ou y=2. Assim, os pontos de interseção são (0,0) e (2,2). Para cada y entre 0 e 2, x varia de x=y^2-y até x=y.

Passo 3

O volume V é dado por
V=integral duplaDl(3x^2+y^2r),dA =integraly=0^2integralx=y^2-y^yl(3x^2+y^2r),dx,dy

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em x:
integralx=y^2-y^yl(3x^2+y^2r),dx =l[x^3+y^2xr]x=y^2-y^x=y =l(y^3+y^3r)-l((y^2-y)^3+y^2(y^2-y)r)
Expandindo:
(y^2-y)^3=y^6-3y^5+3y^4-y^3,
y^2(y^2-y)=y^4-y^3,
então o valor da integral interna fica
2y^3-l(y^6-3y^5+4y^4-2y^3r) =-y^6+3y^5-4y^4+4y^3

Passo 5

Por fim, integramos em y:
V=integral0^2l(-y^6+3y^5-4y^4+4y^3r),dy =-y^77+3y^66-4y^55+4y^44gr|0^2
Avaliar em y=2 e subtrair em y=0
V=l(-tfrac1287+32-tfrac1285+16r)=14435

Resposta

14435

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