Considere o problema de valor inicial
(a) Mostre que, se
, a solução será uma função ímpar [ou seja,
para todo
]. O que acontece quando
?
(b) Mostre que, se
e
são positivos, a solução é crescente em
.
© Mostre que, se
é negativo e
é positivo, a solução é crescente em
.
(d) Que condições em
e
garantiriam que a solução seja crescente em
?
(b) Mostre que, se
© Mostre que, se
(d) Que condições em
Passo 1
O enunciado pede para estudar a equação
com condição inicial
Passo 2
Para (a) definimos
. Note que
e então
Se
então
e
. Pela unicidade de solução,
, isto é
(solução ímpar). Se
, repete-se o raciocínio mas com
e mostra-se que
é par.
Passo 3
Para (b) suponha
,
e que exista
mínimo tal que
. Então em
vale
e assim
. Em
Isso diz que
Passo 4
Para © seja
,
. Agora analisamos
. Se houvesse um
máximo com
, antes dele em
teríamos
, logo
. Em
Passo 5
Para (d) queremos
em toda reta. Dos itens (b) e © vemos que para
basta
, mas para
precisa
. A única forma de conciliar é ter
(caso ímpar) e
. Então
será positivo em
e, por simetria ímpar, também em
.
Resposta
Para garantir que
em
basta ter
e
.