Considere o problema de valor inicial
& y^prime prime-2 x y^prime-2 y=0: & y(0)=a0, y^prime(0)=a1
(a) Mostre que, se a0=0, a solução será uma função ímpar [ou seja, y(-x)=-y(x) para todo x ]. O que acontece quando a1=0 ?
(b) Mostre que, se a0 e a1 são positivos, a solução é crescente em (0, infty).
© Mostre que, se a0 é negativo e a1 é positivo, a solução é crescente em (-infty, 0).
(d) Que condições em a0 e a1 garantiriam que a solução seja crescente em (-infty, infty) ?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a equação
y''-2x y'-2y=0
com condição inicial y(0)=a0, y'(0)=a1. Vamos ver: (a) pergunta sobre paridade da solução, (b) e © querem mostrar que y' mantém sinal em certas regiões usando um argumento de contradição e (d) combinações que garantem y'>0 em toda a reta.

Passo 2

Para (a) definimos tilde y(x)= -y(-x). Note que
tilde y'(x)= y'(-x), tilde y''(x)=-y''(-x),
e então
tilde y''-2xtilde y'-2tilde y = -l(y''( -x)-2(-x)y'(-x)-2y(-x)r) = -0 = 0
Se a0=0 então tilde y(0)=-y(0)=0 e tilde y'(0)=y'(0). Pela unicidade de solução, tilde yequiv y, isto é y(-x)=-y(x) (solução ímpar). Se a1=0, repete-se o raciocínio mas com hat y(x)=y(-x) e mostra-se que y é par.

Passo 3

Para (b) suponha a0>0, a1>0 e que exista x1>0 mínimo tal que y'(x1)=0. Então em (0,x1) vale y'>0 e assim y(x1)>y(0)=a0>0. Em x1
y''(x1)=2x1y'(x1)+2y(x1)=2y(x1)>0
Isso diz que y' está aumentando passando por zero, logo não pode mudar de sinal para negativo. Contradição se achássemos y'<=0. Assim y'(x)>0 em (0,infty), ou seja, y é crescente.

Passo 4

Para © seja a0<0, a1>0. Agora analisamos x<0. Se houvesse um x1<0 máximo com y'(x1)=0, antes dele em (x1,0) teríamos y'>0, logo
y(x1). Em x1
y''(x1)=2x1y'(x1)+2y(x1)=2y(x1)<0,\nde modo que y' estaria decrescendo passando por zero, o que impediria y'>0 imediato à direita de x1. Contradição. Logo y'(x)>0 em ( -infty,0).

Passo 5

Para (d) queremos y'(x)>0 em toda reta. Dos itens (b) e © vemos que para x>0 basta a0>0,;a1>0, mas para x<0 precisa a0<0,;a1>0. A única forma de conciliar é ter a0=0 (caso ímpar) e a1>0. Então y' será positivo em (0,infty) e, por simetria ímpar, também em ( -infty,0).

Resposta

Para garantir que y'(x)>0 em ( -infty,infty) basta ter a0=0 e a1>0.

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