Dada a função
determine, se houver, seus pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo multivariável: encontrar a gradiente
e depois analisar a matriz Hessiana para classificação.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais e resolvemos
:
Igualando a zero, obtemos
Passo 3
Agora, montamos a Hessiana (como a função separa
e
, ela é diagonal):
Para classificar, basta olhar aos sinais de
e
em cada ponto.
Passo 4
Avaliando em cada ponto crítico:
- Em
: , ⇒ Hessiana negativa definida ⇒ máximo local. - Em
: , ⇒ Hessiana positiva definida ⇒ mínimo local. - Nos demais (
e ): uma segunda derivada é positiva e a outra negativa ⇒ Hessiana indefinida ⇒ ponto de sela.
Passo 5
Pronto! Classificamos todos os 9 pontos críticos de acordo com a sinalização da Hessiana.
Resposta
Pontos de máximo local: (0,0), com
.
Pontos de mínimo local: (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), todos com .
Pontos de sela: (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0).
Pontos de mínimo local: (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), todos com
Pontos de sela: (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0).