Dada a função
f(x, y)=x^4-2 x^2+y^4-2 y^2
determine, se houver, seus pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=x^4-2x^2+y^4-2y^2 e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo multivariável: encontrar a gradiente nabla f=0 e depois analisar a matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais e resolvemos nabla f=0:
partial fpartial x=4x^3-4x=4x(x^2-1),
partial fpartial y=4y^3-4y=4y(y^2-1)
Igualando a zero, obtemos x=0,,pm1 e y=0,,pm1. Logo, há 9 pontos críticos: (x,y)in0,1,-1^2.

Passo 3

Agora, montamos a Hessiana (como a função separa x e y, ela é diagonal):
Hf(x,y)=fxx & fxy fyx & fyy =12x^2-4 & 00 & 12y^2-4
Para classificar, basta olhar aos sinais de fxx e fyy em cada ponto.

Passo 4

Avaliando em cada ponto crítico:
  • Em (0,0): fxx=-4<0, fyy=-4<0 ⇒ Hessiana negativa definida ⇒ máximo local.
  • Em (pm1,pm1): fxx=8>0, fyy=8>0 ⇒ Hessiana positiva definida ⇒ mínimo local.
  • Nos demais ( (0,pm1) e (pm1,0)): uma segunda derivada é positiva e a outra negativa ⇒ Hessiana indefinida ⇒ ponto de sela.

Passo 5

Pronto! Classificamos todos os 9 pontos críticos de acordo com a sinalização da Hessiana.

Resposta

Pontos de máximo local: (0,0), com f(0,0)=0.
Pontos de mínimo local: (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), todos com f=-2.
Pontos de sela: (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0).

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