y^prime prime-y=2 t+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y=2t+4
O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea, consideramos
y''-y=0
Montamos a equação característica
r^2-1=0
Suas raízes são r=1 e r=-1, então a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2e^-t

Passo 3

Para a solução particular, como o termo não-homogêneo 2t+4 é um polinômio de grau 1, suponho
yp(t)=at+b
Então yp''=0 e substituindo em y''-y=2t+4 vem
0-(at+b)=2t+4
Logo
-at-b=2t+4
Igualando coeficientes: -a=2 a=-2, e -b=4 b=-4. Assim
yp(t)=-2t-4

Passo 4

A solução geral é a soma das duas partes:
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e^t+C2e^-t-2t-4

Resposta

y(t)=C_1e^t + C_2e^{-t} - 2t - 4

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