Uma curva C é definida pelas equações paramétricas
.
Determine onde a curva sobe e desce e onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Determine onde a curva sobe e desce e onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Passo 1
Estamos com a curva paramétrica definida por x=t^2 e y=t^3−3t e queremos achar onde ela é crescente (sobe), decrescente (desce) e onde é côncava para cima ou para baixo. O conteúdo é derivadas de curvas paramétricas e testes de monotonia e concavidade.
Passo 2
Calculamos primeiro dx/dt e dy/dt para montar dy/dx:
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Passo 3
Para determinar monotonia, analisamos o sinal de
. Como 3>0, focamos em
:
- Se t>0, o sinal é o de t^2−1: positivo para t>1 e negativo para 0<t<1.
- Se t<0, o sinal é oposto: positivo para −1<t<0 e negativo para t<−1.
Assim a curva sobe quando dy/dx>0 e desce quando dy/dx<0.
Passo 4
Agora a segunda derivada em relação a x:
Primeiro escrevemos e derivamos em t:
Primeiro escrevemos
Portanto
Passo 5
Como
sempre, o sinal de
é o de 1/t^3:
- Para t>0, d2y/dx2>0 ⇒ concavidade para cima.
- Para t<0, d2y/dx2<0 ⇒ concavidade para baixo.
Passo 6
Juntando tudo, nos intervalos de t temos:
- (−∞,−1): dy/dx<0 (desce), d2y/dx2<0 (côncava para baixo).
- (−1,0): dy/dx>0 (sobe), d2y/dx2<0 (côncava para baixo).
- (0,1): dy/dx<0 (desce), d2y/dx2>0 (côncava para cima).
- (1,∞): dy/dx>0 (sobe), d2y/dx2>0 (côncava para cima).
Resposta
A curva é crescente para t∈(−1,0) e (1,∞) e decrescente para t∈(−∞,−1) e (0,1). A concavidade é para cima quando t>0 e para baixo quando t<0.