Uma curva C é definida pelas equações paramétricas x=t^2 e y=t^3-3 t.
Determine onde a curva sobe e desce e onde sua concavidade é para cima ou para baixo.

Passo 1

Estamos com a curva paramétrica definida por x=t^2 e y=t^3−3t e queremos achar onde ela é crescente (sobe), decrescente (desce) e onde é côncava para cima ou para baixo. O conteúdo é derivadas de curvas paramétricas e testes de monotonia e concavidade.

Passo 2

Calculamos primeiro dx/dt e dy/dt para montar dy/dx:
dx/dt=2t,
dy/dt=3t^2−3=3(t^2−1)
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dydx=dy/dtdx/dt=3(t^2−1)2t

Passo 3

Para determinar monotonia, analisamos o sinal de dy/dx=tfrac3(t^2−1)2t. Como 3>0, focamos em t^2−1t:
  • Se t>0, o sinal é o de t^2−1: positivo para t>1 e negativo para 0<t<1.
  • Se t<0, o sinal é oposto: positivo para −1<t<0 e negativo para t<−1.
    Assim a curva sobe quando dy/dx>0 e desce quando dy/dx<0.

Passo 4

Agora a segunda derivada em relação a x:
Primeiro escrevemos dy/dx=tfrac32(t−1/t) e derivamos em t:
ddtl(dydxr)=32l(1+tfrac1t^2r)=3(t^2+1)2t^2
Portanto
d^2ydx^2=ddt(dy/dx)dx/dt=3(t^2+1)2t^22t=3(t^2+1)4t^3

Passo 5

Como t^2+1>0 sempre, o sinal de d^2y/dx^2 é o de 1/t^3:
  • Para t>0, d2y/dx2>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para t<0, d2y/dx2<0 ⇒ concavidade para baixo.

Passo 6

Juntando tudo, nos intervalos de t temos:
  • (−∞,−1): dy/dx<0 (desce), d2y/dx2<0 (côncava para baixo).
  • (−1,0): dy/dx>0 (sobe), d2y/dx2<0 (côncava para baixo).
  • (0,1): dy/dx<0 (desce), d2y/dx2>0 (côncava para cima).
  • (1,∞): dy/dx>0 (sobe), d2y/dx2>0 (côncava para cima).

Resposta

A curva é crescente para t∈(−1,0) e (1,∞) e decrescente para t∈(−∞,−1) e (0,1). A concavidade é para cima quando t>0 e para baixo quando t<0.

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