Verifique se a função abaixo é diferenciável no ponto indicado:
em
.
em
Passo 1
Você deve verificar se a função f, definida por
para
e
, é diferenciável em
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em
e usar a definição de diferenciabilidade que exige que o resto, dividido pela norma de
, vá a zero.
Passo 2
Calcular a derivada parcial em
no ponto
usando o limite
. Como
, temos
, logo
. De forma análoga,
.
Com isso, a aproximação linear (parte diferenciável) seria .
Com isso, a aproximação linear (parte diferenciável) seria
Passo 3
Para analisar o resto, escrevemos para
:
e observamos que
. Logo o resto é
.
Passo 4
Para ver se esse resto é pequeno na definição, olhamos o quociente
. No caminho
temos
e
, então
.
Como o limite do resto sobre a norma não vai a zero, a definição de diferenciabilidade falha e concluímos que f não é diferenciável em .
Como o limite do resto sobre a norma não vai a zero, a definição de diferenciabilidade falha e concluímos que f não é diferenciável em
Resposta
A função não é diferenciável em (0,0).