Verifique se a função abaixo é diferenciável no ponto indicado:
em f(x, y)= sin (x^3+y^3)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) .

Passo 1

Você deve verificar se a função f, definida por f(x,y)=sin(x^3+y^3)x^2+y^2 para (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0, é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em (0,0) e usar a definição de diferenciabilidade que exige que o resto, dividido pela norma de (x,y), vá a zero.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em x no ponto (0,0) usando o limite limhto0f(h,0)-f(0,0)h. Como f(h,0)=sin(h^3)h^2, temos f(h,0)h=sin(h^3)h^3to1, logo fx(0,0)=1. De forma análoga, fy(0,0)=1.
Com isso, a aproximação linear (parte diferenciável) seria L(x,y)=fx(0,0)x+fy(0,0)y=x+y.

Passo 3

Para analisar o resto, escrevemos para (x,y)neq(0,0): sin(x^3+y^3)x^2+y^2=x^3+y^3x^2+y^2+o(x^3+y^3)x^2+y^2 e observamos que x^3+y^3x^2+y^2-(x+y)=-xy(x+y)x^2+y^2. Logo o resto é -xy(x+y)x^2+y^2+o(x^3+y^3)x^2+y^2.

Passo 4

Para ver se esse resto é pequeno na definição, olhamos o quociente f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2. No caminho y=x temos -xy(x+y)x^2+y^2=-x e o(x^3+y^3)x^2+y^2=o(x), então
f(x,x)-(x+x)raiz2|x|to-tfrac1raiz2neq0.
Como o limite do resto sobre a norma não vai a zero, a definição de diferenciabilidade falha e concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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