Considere o problema de valor inicial
. Determine para qual valor de
a solução do PVI tem um máximo local no eixo
.
Passo 1
Temos o PVI
,
. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Calculemos o fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Integrando em relação a
:
Passo 3
Ao integrar o lado direito, usamos
Logo
e assim
Aplicando
dá
.
Passo 4
Portanto
Para encontrar extremos, calculemos a derivada:
Igualando a zero:
Isso dá o ponto crítico
Passo 5
Para que haja um máximo local em
precisamos
Além disso, a segunda derivada é
e em
vale
, confirmando que é máximo.