Considere o problema de valor inicial y^prime+y=1-t, y(0)=y0. Determine para qual valor de y0 a solução do PVI tem um máximo local no eixo t.

Passo 1

Temos o PVI y' + y = 1 - t, y(0)=y0. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculemos o fator integrante mu(t)=e^integral1,dt=e^t. Multiplicando ambos os lados por e^t obtemos:
(y,e^t)' = e^t(1 - t)
Integrando em relação a t:
integral (y,e^t)',dt = integral e^t(1 - t),dt

Passo 3

Ao integrar o lado direito, usamos
integral e^t,dt = e^t, integral t,e^t,dt = t,e^t - e^t
Logo
y,e^t = 2,e^t - t,e^t + C
e assim
y(t) = 2 - t + C e^-t
Aplicando y(0)=y0 C=y0-2.

Passo 4

Portanto
y(t) = 2 - t + (y0 - 2)e^-t
Para encontrar extremos, calculemos a derivada:
y'(t) = -1 - (y0 - 2)e^-t
Igualando a zero:
-1 - (y0 - 2)e^-t = 0 Longrightarrow (y0 - 2)e^-t = -1 Longrightarrow y0 = 2 - e^t
Isso dá o ponto crítico
t^* = ln(2 - y0)

Passo 5

Para que haja um máximo local em t^*>0 precisamos
ln(2 - y0) > 0 Longrightarrow 2 - y0 > 1 Longrightarrow y0 < 1
Além disso, a segunda derivada é
y''(t) = (y0 - 2)e^-t,
e em t^* vale y''(t^*)=-1<0, confirmando que é máximo.

Resposta

y0 < 1

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