Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 ux x=ut t
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=sen(pi x2)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) ut(x, 0)=0
(B) ut(x, 0)=-sen(3 pi x2)
(C) ut(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais II e B

Passo 1

O problema é a equação da onda
utt=9,uxx
em 0<x<2, com condições de contorno fixas
u(0,t)=u(2,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=sinl(tfracpi x2r), ut(x,0)=-sinl(tfrac3pi x2r)
Vamos usar a série de senos e separar variáveis.

Passo 2

A solução geral ajustada às contornas u(0,t)=u(2,t)=0 é
u(x,t)=sumn=1^inftyl[ancos(omegant)+bnsin(omegant)r]sin!l(tfracnpi x2r),
onde
omegan=3,npi2,
e os coeficientes vêm de
an=22integral0^2u(x,0)sin!l(tfracnpi x2r),dx, bn=22,omeganintegral0^2ut(x,0)sin!l(tfracnpi x2r),dx

Passo 3

Para u(x,0)=sin(tfracpi x2)
an=integral0^2sin!l(tfracpi x2r)sin!l(tfracnpi x2r),dx
Pela ortogonalidade só n=1 contribui, e
a1 =integral0^2sin^2!l(tfracpi x2r)dx =1, an=0 (nneq1)

Passo 4

Para ut(x,0)=-sin(tfrac3pi x2)
bn=1omeganintegral0^2l[-sin(tfrac3pi x2)r]sin!l(tfracnpi x2r),dx
n=3 dá não nulo, e
integral0^2sin^2!l(tfrac3pi x2r),dx=1, omega3=3cdottfrac3pi2=tfrac9pi2,
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b3=-1omega3=-29pi, bn=0 (nneq3)

Passo 5

Substituindo apenas n=1 e n=3 na soma, obtemos
u(x,t) =cos!l(tfrac3pi t2r)sin!l(tfracpi x2r) -29pi,sin!l(tfrac9pi t2r)sin!l(tfrac3pi x2r)

Resposta

u(x,t) =cos!l(tfrac3pi t2r)sin!l(tfracpi x2r) -29pi,sin!l(tfrac9pi t2r)sin!l(tfrac3pi x2r)

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