Q 17 Calcule os limites, envolvendo conjugado de radicais e indeterminação 0 / 0.
lim x 3 raizx^2-2 x+6-raizx^2+2 x-6x^2-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede
limxto3raizx^2-2x+6-raizx^2+2x-6x^2-4x+3
que é uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado dos radicais) e fatoração para eliminar esse indeterminado.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo x=3:
raiz3^2-2cdot3+6=raiz9-6+6=raiz9=3 e
raiz3^2+2cdot3-6=raiz9+6-6=raiz9=3,
logo o numerador é 3-3=0. No denominador,
3^2-4cdot3+3=9-12+3=0.
Confirmamos o tipo 0/0.

Passo 3

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por
raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6:
raizx^2-2x+6-raizx^2+2x-6x^2-4x+3 cdot raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6 = x^2-2x+6;-;(x^2+2x-6)(x^2-4x+3)l(raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6r)

Passo 4

No numerador simplificamos
x^2-2x+6 - (x^2+2x-6) = -4x+12 = -4(x-3)
E no denominador fatoramos
x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)
Cancelando o fator (x-3), a expressão fica
-4(x-1)l(raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6r)

Passo 5

Agora basta fazer xto3:
limxto3 -4(x-1)l(raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6r) = -4(3-1)l(3+3r) = -42cdot6 = -13

Resposta

-tfrac13

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