Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento
, que obedece à equação:
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I)
(II)
(III)
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A)
(B)
(C)
Determine a solução
do problema para:
Condições Iniciais III e A
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
(C)
Condições Iniciais III e A
Passo 1
O enunciado é o problema da corda vibrante de comprimento
, com extremidades fixas
, que satisfaz
As condições iniciais são
Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir em série de funções próprias
.
Passo 2
A solução geral, respeitando as condições de contorno fixas, é
onde a velocidade de fase em cada modo é
.
Passo 3
Da condição
vem
Passo 4
Da condição
obtemos
ou seja, os coeficientes
são dados por
Passo 5
Para calcular
com
, integramos por partes:
Portanto
Passo 6
Substituindo em
com
, temos