Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 ux x=ut t
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=sen(pi x2)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) ut(x, 0)=0
(B) ut(x, 0)=-sen(3 pi x2)
(C) ut(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais III e A

Passo 1

O enunciado é o problema da corda vibrante de comprimento L=2, com extremidades fixas u(0,t)=u(2,t)=0, que satisfaz
utt=9,uxx
As condições iniciais são
u(x,0)=x, ut(x,0)=0
Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir em série de funções próprias sinl(tfracnpi x2r).

Passo 2

A solução geral, respeitando as condições de contorno fixas, é
u(x,t) =sumn=1^inftyl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)sinl(npi x2r),
onde a velocidade de fase em cada modo é
omegan=3npi2.

Passo 3

Da condição ut(x,0)=0 vem
ut(x,0) =sumn=1^infty Bn,omegan,sinl(npi x2r)=0 Longrightarrow Bn=0(forall n)

Passo 4

Da condição u(x,0)=x obtemos
x=sumn=1^infty Ansinl(npi x2r),
ou seja, os coeficientes An são dados por
An =22integral0^2x,sinl(npi x2r),dx =integral0^2x,sinl(npi x2r),dx

Passo 5

Para calcular
An=integral0^2xsin(ax),dx com a=tfracnpi2, integramos por partes:
I&=integral0^2xsin(ax),dx =l[-xcos(ax)ar]0^2 +integral0^2cos(ax)a,dx &=-2cos(2a)a +1al[sin(ax)ar]0^2 =-2cos(npi)a =-2(-1)^n,npi/2, =-4(-1)^nnpi
Portanto
An=-4(-1)^nnpi =4(-1)^n+1npi

Passo 6

Substituindo em u(x,t) com Bn=0, temos
u(x,t) =sumn=1^infty Ancosl(3npi2tr)sinl(npi x2r) =4pisumn=1^infty(-1)^n+1n, cos!l(tfrac3npi2tr), sin!l(tfracnpi x2r)

Resposta

u(x,t) =4pisumn=1^infty(-1)^n+1n, cos!l(tfrac3npi2tr), sin!l(tfracnpi x2r)

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