Q 18 Calcule os limites, envolvendo radicais, troca de variáveis e indeterminação 0 / 0.
lim x -4 x+4raiz[3]x+12-2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -4x+4raiz[3]x+12-2
Percebemos que é uma forma indeterminada 0/0 envolvendo raiz cúbica, então vamos usar uma troca de variável que permita fatorar a diferença de cubos.

Passo 2

Primeiro, confirmamos a indeterminação: ao substituir x=-4, o numerador x+4 e o denominador raiz[3]x+12-2 ficam ambos iguais a zero. Para tratar isso, lembraremos da fatoração
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2)

Passo 3

Fazemos a troca de variável
t = raiz[3]x+12,
de modo que
t^3 = x+12 Longrightarrow x = t^3 - 12
Quando xto -4, temos t^3to 8 e portanto tto 2. Substituindo na expressão do limite, obtemos
x+4raiz[3]x+12-2 = (t^3 -12)+4t-2 = t^3-8t-2

Passo 4

Agora aplicamos a fatoração de diferença de cubos em t^3-8:
t^3 - 8 = (t-2),(t^2 + 2t + 4)
Podemos então simplificar o fator (t-2) e obter
t^3-8t-2 = t^2 + 2t + 4
Basta agora avaliar em t=2:
t^2 + 2t + 4 m|t=2 = 2^2 + 2cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

12

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