Q 17 Calcule os limites, envolvendo conjugado de radicais e indeterminação 0 / 0.
lim x 0 xraiz1+x+x^2-1

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0xraiz1+x+x^2-1
Esse tipo de limite dá indeterminação 0/0 e vamos usar racionalização de conjugado de radicais para resolvê-lo.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada por substituição direta:
o numerador em x=0 é 0 e o denominador é raiz1+0+0-1=0,
logo temos indeterminação 0/0.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, raiz1+x+x^2+1:
xraiz1+x+x^2-1cdot raiz1+x+x^2+1raiz1+x+x^2+1 = xl(raiz1+x+x^2+1r) (raiz1+x+x^2)^2-1^2

Passo 4

No denominador aparece a diferença de quadrados:
(raiz1+x+x^2)^2-1 =(1+x+x^2)-1 =x+x^2

Passo 5

Substituindo no quociente e fatorando x em x+x^2=x(1+x), obtemos:
xl(raiz1+x+x^2+1r)x(1+x) = raiz1+x+x^2+11+x

Passo 6

Basta agora passar ao limite:
limxto0 raiz1+x+x^2+11+x = raiz1+0+0+11+0 = 1+11 = 2

Resposta

2

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