Considere o problema
. Mostre que a solução deste problema tende para uma constante quando
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
com condições iniciais
e
, e mostrar que a solução tende a uma constante quando \t \to \infty. O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes, e vamos precisar usar o método da equação característica e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Para resolver
, montamos a equação característica associada:
que fatoriza como
, dando raízes
e
. Logo, a solução geral é
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais. De
vem
Passo 4
e como
, de
obtenho
Passo 5
Logo
Passo 6
Portanto a solução particular é
Passo 7
Para ver o comportamento quando
, note que
. Assim
Resposta
A solução tende para a constante
quando
.