Considere o problema y^prime prime+2 y^prime=0, y(0)=a, y^prime(0)=b. Mostre que a solução deste problema tende para uma constante quando t infty.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem y'' + 2y' = 0 com condições iniciais y(0)=a e y'(0)=b, e mostrar que a solução tende a uma constante quando \t \to \infty. O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes, e vamos precisar usar o método da equação característica e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para resolver y'' + 2y' = 0, montamos a equação característica associada:
r^2 + 2r = 0
que fatoriza como r(r + 2)=0, dando raízes r1=0 e r2=-2. Logo, a solução geral é
y(t) = C1 + C2 e^-2t

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais. De y(0)=a vem
C1 + C2 = a

Passo 4

e como y'(t) = -2C2 e^-2t, de y'(0)=b obtenho
-2C2 = b C2 = -tfrac b2

Passo 5

Logo
C1 = a - C2 = a + tfrac b2

Passo 6

Portanto a solução particular é
y(t) = a + tfrac b2 , -tfrac b2 ,e^-2t = a + tfrac b2l(1 - e^-2tr)

Passo 7

Para ver o comportamento quando t to infty, note que e^-2t to 0. Assim
limttoinftyy(t) = a + tfrac b2 ,(1 - 0) = a + tfrac b2

Resposta

A solução tende para a constante a + tfrac b2 quando t to infty.

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