Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta.
f(x, y)=y^2(tg x)^2 ;(pi3, 2), theta=-pi3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada direcional da função no ponto e na direção que faz um ângulo de . Isso tudo está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função e também entender como aplicar a direção indicada pelo ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x [ y^2 (tan x)^2 ] = y^2 cdot 2 tan x cdot sec^2 x = 2 y^2 tan x sec^2 x em relação a :
Aqui, usei a regra da cadeia: a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y [ y^2 (tan x)^2 ] = 2 y (tan x)^2 em relação a :
Simplesmente apliquei a regra da potência para derivar .

Passo 5

Com as derivadas parciais, o gradiente de nabla f(x, y) = ( 2 y^2 tan x sec^2 x, , 2 y (tan x)^2 ) é:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto .

Passo 6

Primeiro, calculemos tan (pi3) = raiz3, sec (pi3) = 2 e nabla f(pi3, 2) = ( 2 cdot 2^2 cdot raiz3 cdot (2)^2, , 2 cdot 2 cdot (raiz3)^2 ) = ( 2 cdot 4 cdot raiz3 cdot 4, , 4 cdot 3 ) = ( 32 raiz3, 12 ) :
Agora, substituindo esses valores e no gradiente:

Passo 7

Agora, precisamos considerar a direção indicada pelo ângulo u = ( cos theta, sin theta ) = ( cos (-pi3), sin (-pi3) ) = ( 12, -raiz32 ) . Para isso, vamos transformar esse ângulo em um vetor unitário que aponta nessa direção. Um vetor unitário na direção de é:

Passo 8

A derivada direcional de Du f = nabla f cdot u = (32 raiz3, 12) cdot (12, -raiz32) na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :

Passo 9

Calculando o produto escalar:
Du f = 32 raiz3 cdot 12 + 12 cdot (-raiz32) = 16 raiz3 - 6 raiz3 = 10 raiz3

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é .

Exercícios relacionados