Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada direcional da função
no ponto
e na direção que faz um ângulo de
. Isso tudo está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função e também entender como aplicar a direção indicada pelo ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usei a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Simplesmente apliquei a regra da potência para derivar
.
Passo 5
Com as derivadas parciais, o gradiente de
é:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto
.
Passo 6
Primeiro, calculemos
e
:
Agora, substituindo esses valores e
no gradiente:
Passo 7
Agora, precisamos considerar a direção indicada pelo ângulo
. Para isso, vamos transformar esse ângulo em um vetor unitário que aponta nessa direção. Um vetor unitário na direção de
é:
Passo 8
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário
:
Passo 9
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do ângulo
é
.