Determine:
i) O gradiente de
no ponto P .
ii) A taxa de variação de
em P na direção do vetor
.
i) O gradiente de
ii) A taxa de variação de
Passo 1
Estamos lidando com a função de duas variáveis
, o ponto
e o vetor de direção
. O objetivo é achar i) o gradiente de
em
e ii) a taxa de variação de
em
na direção de
. Vamos usar derivadas parciais, normalização de vetores e produto escalar.
Passo 2
Para calcular as derivadas parciais, aplicamos a regra do quociente. Escrevendo
, temos:
[\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\bigl(-1\bigr),(x+y){-2}=-\frac{x}{(x+y)2}.",
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas em
. Como
nesse ponto,
Passo 4
Portanto o gradiente em
é
.
Passo 5
Para a taxa de variação na direção de
, primeiro normalizamos
. O módulo é
, então
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre
e
:
Resposta
i)
ii) taxa de variação
.