Determine:
i) O gradiente de f no ponto P .
ii) A taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
f(x, y)=xx+y ; P=(1,0), u=(-1,-1)

Passo 1

Estamos lidando com a função de duas variáveis f(x,y)=xx+y, o ponto P=(1,0) e o vetor de direção vec u=(-1,-1). O objetivo é achar i) o gradiente de f em P e ii) a taxa de variação de f em P na direção de vec u. Vamos usar derivadas parciais, normalização de vetores e produto escalar.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais, aplicamos a regra do quociente. Escrevendo f(x,y)=x,(x+y)^-1, temos:
partial fpartial x=(1),(x+y)-x,(1)(x+y)^2=x+y-x(x+y)^2=y(x+y)^2,
[\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\bigl(-1\bigr),(x+y){-2}=-\frac{x}{(x+y)2}.",

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em P=(1,0). Como x+y=1 nesse ponto,
partial fpartial x(1,0)=01^2=0,partial fpartial y(1,0)=-11^2=-1

Passo 4

Portanto o gradiente em P é nabla f(1,0)=(0,-1).

Passo 5

Para a taxa de variação na direção de vec u, primeiro normalizamos vec u. O módulo é |vec u|=raiz(-1)^2+(-1)^2=raiz2, então
hat u=1raiz2(-1,-1)=l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre nabla f(1,0)=(0,-1) e hat u:
Dhat uf(1,0)=nabla f(1,0)cdothat u=0cdotl(-tfrac1raiz2r)+(-1)cdotl(-tfrac1raiz2r)=tfrac1raiz2

Resposta

i) nabla f(1,0)=(0,-1) ii) taxa de variação Dvec uf(1,0)=tfrac1raiz2.

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