Considere o problema
. Mostre que
para todo
.
Passo 1
No nosso exercício, temos a equação diferencial $ y’’ - 4y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = b \neq 0 $. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para resolver essa equação e mostrar que a solução $ y(t) $ nunca é zero, exceto quando $ t = 0 $.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial $ y’’ - 4y = 0 $. Para isso, resolvemos a equação característica:
Com as raízes $ r = 2 $ e $ r = -2 $, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Primeiro, usamos $ y(0) = 0 $:
Em seguida, calculamos a derivada de $ y(t) $:
Aplicamos a condição $ y’(0) = b $:
Como já sabemos que $ A = -B $, substituímos:
Portanto, $ A = \frac{b}{4} $.
Passo 4
Substituímos os valores de $ A $ e $ B $ na solução geral:
Podemos simplificar essa expressão usando a função hiperbólica seno (
):
Passo 5
Para mostrar que $ y(t) \neq 0 $ para todo $ t \neq 0 $, vamos analisar a função $ \sinh(2t) $.
A função $ \sinh(2t) $ é definida como:
Essa função é diferente de zero para todo $ t \neq 0 $ porque $ e^{2t} $ e $ e^{-2t} $ nunca se cancelam completamente a menos que $ t = 0 $.
Como $ b \neq 0 $, o produto $ \frac{b}{2} \sinh(2t) $ também será diferente de zero para todo $ t \neq 0 $.
Resposta
Portanto, a solução do problema é $ y(t) = \frac{b}{2} \sinh(2t) $, que satisfaz $ y(t) \neq 0 $ para todo $ t \neq 0 $.