Considere o problema y^prime prime-4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=b neq 0. Mostre que y(t) neq 0 para todo t neq 0.

Passo 1

No nosso exercício, temos a equação diferencial $ y’’ - 4y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = b \neq 0 $. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para resolver essa equação e mostrar que a solução $ y(t) $ nunca é zero, exceto quando $ t = 0 $.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial $ y’’ - 4y = 0 $. Para isso, resolvemos a equação característica:
y'' - 4y = 0
Com as raízes $ r = 2 $ e $ r = -2 $, a solução geral da equação diferencial é:
r^2 - 4 = 0 implies r = pm 2
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Primeiro, usamos $ y(0) = 0 $:
A
Em seguida, calculamos a derivada de $ y(t) $:
B
Aplicamos a condição $ y’(0) = b $:
y(0) = 0
Como já sabemos que $ A = -B $, substituímos:
y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 0 implies A = -B
Portanto, $ A = \frac{b}{4} $.

Passo 4

Substituímos os valores de $ A $ e $ B $ na solução geral:
A
Podemos simplificar essa expressão usando a função hiperbólica seno ( B ):
y(t) = b4 e^2t - b4 e^-2t = b4(e^2t - e^-2t)

Passo 5

Para mostrar que $ y(t) \neq 0 $ para todo $ t \neq 0 $, vamos analisar a função $ \sinh(2t) $.
A função $ \sinh(2t) $ é definida como:
y(t) neq 0
Essa função é diferente de zero para todo $ t \neq 0 $ porque $ e^{2t} $ e $ e^{-2t} $ nunca se cancelam completamente a menos que $ t = 0 $.
Como $ b \neq 0 $, o produto $ \frac{b}{2} \sinh(2t) $ também será diferente de zero para todo $ t \neq 0 $.

Resposta

Portanto, a solução do problema é $ y(t) = \frac{b}{2} \sinh(2t) $, que satisfaz $ y(t) \neq 0 $ para todo $ t \neq 0 $.

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