Use um Critério de Comparação para determinar a natureza das séries abaixo:
(i)
(i)
Passo 1
Neste exercício, temos a série
. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o Critério de Comparação (direta) para determinarmos se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, recordamos um fato da teoria de logaritmos: para todo
vale
. Este resultado vem do desenvolvimento em série de Taylor de
ou do fato de que a função
está abaixo da reta
.
Agora aplicamos este fato com , que é positivo. Logo, para todo
:
Agora aplicamos este fato com
Observamos também que
é não negativa, pois
. Portanto temos
Passo 3
Sabemos que a série geométrica
converge, pois sua razão
satisfaz
. Pelo Critério de Comparação Direta, se termos não negativos são majorados por uma série convergente, então a série original também converge.
Assim, concluímos que a série dada é convergente.
Assim, concluímos que a série dada é convergente.
Resposta
A série
converge pelo Critério de Comparação com a série geométrica de razão
.