Use um Critério de Comparação para determinar a natureza das séries abaixo:
(i) sumn=1^infty ln (1+1 / 2^n)

Passo 1

Neste exercício, temos a série sumn=1^infty lnl(1 + 1/2^nr). O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o Critério de Comparação (direta) para determinarmos se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, recordamos um fato da teoria de logaritmos: para todo x > -1 vale ln(1+x) <= x. Este resultado vem do desenvolvimento em série de Taylor de ln(1+x) ou do fato de que a função ln(1+x) está abaixo da reta y = x.
Agora aplicamos este fato com x = 1/2^n, que é positivo. Logo, para todo n >= 1:
lnl(1 + 1/2^nr) <= 1/2^n
Observamos também que ln(1 + 1/2^n) é não negativa, pois 1 + 1/2^n > 1. Portanto temos
0 <= lnl(1 + 1/2^nr) <= 1/2^n

Passo 3

Sabemos que a série geométrica
sumn=1^infty 12^n
converge, pois sua razão 1/2 satisfaz |1/2| < 1. Pelo Critério de Comparação Direta, se termos não negativos são majorados por uma série convergente, então a série original também converge.
Assim, concluímos que a série dada é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty ln(1 + 1/2^n) converge pelo Critério de Comparação com a série geométrica de razão 1/2.

Exercícios relacionados