Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor assimilar a teoria.
(d) Se lim n infty(an / bn)=0 e sumn=1^infty an diverge, então sumn=1^infty bn diverge.

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdadeiro que se limntoinfty(an/bn)=0 e sumn=1^infty an diverge então sumn=1^infty bn diverge. O conteúdo envolvido é o teste de comparação para séries de termos não-negativos.

Passo 2

Por definição de limite, como limntoinfty(an/bn)=0, existe um N tal que para todo n>N vale anbn<1. Logo, para n>N temos an.

Passo 3

Como sumn=1^infty an diverge e para n>N cada termo bn é maior que an, pelo teste de comparação direta temos
sumn=1^infty bn=sumn=1^N bn+sumn=N+1^infty bn>=sumn=1^N bn+sumn=N+1^infty an=infty

Passo 4

Portanto, sempre que limntoinfty(an/bn)=0 e sum an diverge, a série sum bn também diverge.

Resposta

V

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