Encontre os valores de que tornam a série convergente e calcule o valor da soma. Idem para a série .
Passo 1
O enunciado pede para estudar duas séries infinitas e determinar para quais valores de x cada uma converge e, em seguida, calcular a soma quando convergirem. O conteúdo principal é série geométrica, cuja condição de convergência é $|r|<1$ e cuja soma é $S=\frac{a}{1-r}$, onde $a$ é o primeiro termo e $r$ a razão.
Passo 2
Para a série reconhecemos que é geométrica com primeiro termo $a=x^2$ (quando $n=1$) e razão $r=x^2$. A condição de convergência é $|r|<1$, ou seja,
Passo 3
Quando $|x|<1$, usamos a fórmula da soma da série geométrica infinita:
Passo 4
Na segunda série $\tfrac12 + \tfrac{x-3}{4} + \tfrac{(x-3)^2}{8} + \cdots$ podemos escrever a soma como
Passo 5
Fatorando $1/2$, fica
Passo 6
Aqui o primeiro termo é $a=1/2$ e a razão é $r=(x-3)/2$. A condição de convergência é $|r|<1$, ou seja,
Passo 7
Quando $1<x<5$, a soma é
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Resposta
Para sumn=1^infty x^2n: converge se |x|<1 e S=tfracx^21 - x^2
Para tfrac12+tfracx-34+tfrac(x-3)^28+cdots: converge se |x-3|<2 (isto é, 1) e S=tfrac15 - x