Considere o problema
. Mostre que
.
Passo 1
Temos um EDO linear homogêneo de 2ª ordem com coeficientes constantes: y’’–4y=0, sujeito às condições y(0)=0 e y’(0)=a≠0. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
A equação característica associada é r²–4=0, cujas raízes são r=±2. Assim, a solução geral da EDO é
Passo 3
Aplicando a condição y(0)=0 obtemos C_1+C_2=0, ou seja, C_2=–C_1. Por outro lado, derivando y(t) temos y’(t)=2C_1e{2t}–2C_2e{-2t} e, em t=0,
Como C_2=–C_1, isso vira 4C_1=a, logo C_1=a/4 e C_2=–a/4.
Passo 4
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral vem
lembrando que
.
Passo 5
Para mostrar que y(t)≠0 para todo t≠0, note que a≠0 e
se, e somente se, 2t=0 ⇒ t=0. Portanto, y(t) só zera em t=0, ou seja, y(t)≠0 em todo t≠0.
Resposta
Como y(t)=\tfrac{a}{2}\sinh(2t) e
só em t=0, concluímos que y(t)≠0 para todo t≠0.