Considere o problema y^prime prime-4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=a neq 0. Mostre que y(t) neq 0, forall t neq 0.

Passo 1

Temos um EDO linear homogêneo de 2ª ordem com coeficientes constantes: y’’–4y=0, sujeito às condições y(0)=0 e y’(0)=a≠0. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada é r²–4=0, cujas raízes são r=±2. Assim, a solução geral da EDO é
y(t)=C1e^2t+C2e^-2t

Passo 3

Aplicando a condição y(0)=0 obtemos C_1+C_2=0, ou seja, C_2=–C_1. Por outro lado, derivando y(t) temos y’(t)=2C_1e{2t}–2C_2e{-2t} e, em t=0,
y'(0)=2C12C2=a
Como C_2=–C_1, isso vira 4C_1=a, logo C_1=a/4 e C_2=–a/4.

Passo 4

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral vem
y(t)=a4(e^2te^-2t)=a2sinh(2t),
lembrando que sinh(x)=(e^xe^-x)/2.

Passo 5

Para mostrar que y(t)≠0 para todo t≠0, note que a≠0 e sinh(2t)=0 se, e somente se, 2t=0 ⇒ t=0. Portanto, y(t) só zera em t=0, ou seja, y(t)≠0 em todo t≠0.

Resposta

Como y(t)=\tfrac{a}{2}\sinh(2t) e sinh(2t)=0 só em t=0, concluímos que y(t)≠0 para todo t≠0.

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