Determine a taxa de variação MÁXIMA de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=x+yz ;(4,3,-1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a taxa de variação máxima de f(x,y,z)=x+tfracyz no ponto (4,3,-1) e a direção em que isso ocorre. Vamos usar cálculo de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
A teoria diz que a taxa de variação máxima de f num ponto ocorre na direção do gradiente nabla f e seu valor é a norma de nabla f.

Passo 2

Para achar o gradiente calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=1, partial fpartial y=1z, partial fpartial z=-yz^2

Passo 3

Avaliando em (4,3,-1), temos z=-1 e y=3, então
nabla f(4,3,-1)=l(1,1-1,-3(-1)^2r)=(1,-1,-3)

Passo 4

A norma desse gradiente é
|nabla f(4,3,-1)|=raiz1^2+(-1)^2+(-3)^2=raiz11

Passo 5

A direção onde ocorre essa taxa máxima é o vetor unitário na direção de (1,-1,-3), isto é
1raiz11(1,-1,-3)

Resposta

A taxa de variação máxima é raiz11 e ocorre na direção do vetor unitário tfrac1raiz11(1,-1,-3).

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