Resolva as integrais definidas:
integral0^ln (2) x e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de zero a ln(2) de x e^x,dx. Esse problema pertence ao conteúdo de integrais definidas e vamos usar a técnica de integração por partes, além de conhecer a primitiva de e^x.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Para aplicar, fazemos as escolhas
u = x, dv = e^x,dx
Então
du = dx, v = integral e^x,dx = e^x

Passo 3

Aplicando a fórmula, obtemos a primitiva de x e^x:
integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C
Aqui explicamos que juntamos o produto x por e^x e subtraímos a integral de e^x.

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva em x = 0 e x = ln(2):
e^x(x - 1)|0^ln(2) = e^ln(2)(ln(2)-1) - e^0(0-1)
Calculando cada termo: e^ln(2) = 2 e e^0 = 1, logo
2(ln(2)-1) - [1cdot(-1)] = 2ln(2) - 2 + 1 = 2ln(2) - 1

Passo 5

Assim chegamos ao valor da integral definida.

Resposta

2ln(2) - 1

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