Considere os problemas abaixo envolvendo equações da forma
. em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Os dados e pedidos são:
- Equação diferencial autônoma dada:
com . - Condição inicial considerada:
com .
O enunciado pede:
- Esboçar o gráfico de
em função de . - Determinar os pontos críticos (equilíbrios), isto é, soluções de
. - Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
- Desenhar a reta de fase (direção das setas para vários intervalos de
). - Esboçar vários gráficos de soluções no plano
para condições iniciais .
Passo 2
Fatorar
para ver melhor sua forma. Escrevendo
Isto já mostra que os zeros de
aparecem quando
ou
.
Passo 3
Determinar os pontos de equilíbrio. São as soluções de
:
Como
e
, temos
. Portanto os equilíbrios são
(não-negativo) e
(negativo).
Passo 4
Estudar o sinal de
para esboçar o gráfico e a reta de fase. Como
e o coeficiente de
é
,
é uma parábola em
aberta para cima. Os dados úteis:
- Zeros em
e . - O vértice da parábola está em
(ponto médio entre as raízes).
Agora o sinal: - Para
: e . - Para
: e . - Para
: e .
Passo 5
Interpretação geométrica do gráfico
e da reta de fase (passo a passo para desenhar):
- Gráfico de
: parábola com concavidade para cima, corta o eixo em e em . O valor mínimo (vértice) em é negativo (pois a parábola atinge valor mínimo menor que zero). - Reta de fase (linha unidimensional que marca as posições
com setas indicando ): - Em
: → setas para a direita (ou para cima se preferir vertical). - Em
: → setas para a esquerda. - Em
: → setas para a direita.
- Em
- A partir disso já se observa que
atrai soluções de ambos os lados (setas voltadas para ele) enquanto afasta as soluções do lado positivo (setas saindo dele para a direita).
Passo 6
Classificação dos equilíbrios por linearização (critério prático usado em provas): calcular
e avaliar em cada ponto fixo.
Avaliar:
- Em
: . Regra: se , o equilíbrio é instável (repelente). Logo é instável. - Em
:
Regra: se
, o equilíbrio é assintoticamente estável (atrator). Logo
é assintoticamente estável.
Explicação intuitiva: derivada positiva em significa que pequenas perturbações positivas crescem; derivada negativa em
significa que pequenas perturbações decaem de volta ao ponto.
Explicação intuitiva: derivada positiva em
Passo 7
Comportamento das soluções para
(isto é importante para a prova):
- Caso
: a solução é a constante (equilíbrio). - Caso
: pelo sinal de em temos , então é estritamente crescente. Além disso, para grande o termo dominante é (porque cresce mais rápido que ), portanto a equação se comporta qualitativamente como , cuja solução explode em tempo finito. Conclusão: para qualquer , cresce e diverge para em tempo finito. Assim a solução não se aproxima de um equilíbrio para ; ela “explode”. - Observação útil sobre dependência do tempo de explosão: quanto maior
, mais rápido ocorre a explosão; quando o tempo de explosão tende a (isto é coerente com ser instável).
Passo 8
(Complemento didático: solução explícita e tempo de explosão — útil para prova e compreensão)
A equação é separável; integrar dá uma expressão fechada que mostra o tempo finito de explosão. Partindo de
A equação é separável; integrar dá uma expressão fechada que mostra o tempo finito de explosão. Partindo de
fazendo frações parciais:
integra-se e obtém-se
Isolando
com a condição inicial
chega-se a
O denominador zera quando
Portanto o tempo de explosão (tempo finito
em que
) é
bem definido e finito para qualquer
. Quando
tem-se
, o que liga com o fato de
ser instável: soluções com condições iniciais muito próximas de zero levam muito tempo para divergir.
Passo 9
Como desenhar os esboços no plano
(dicas práticas para a sua prova):
- Traçar a solução constante
. - Para cada
desenhar uma curva crescente que fica cada vez mais inclinada e que atinge em um tempo finito (marcar esse na reta se quiser). - Não há solução positiva que passe a ser negativa; com
as soluções permanecem até explodirem. - Se quisesse desenhar também soluções negativas (apesar do enunciado restringir
): para as soluções decaem monotonamente até (atrator), e para as soluções crescem até .
Resposta
Pontos de equilíbrio:
— instável.
Ponto de equilíbrio: — assintoticamente estável.
Reta de fase: para tem
(setas para a direita); para
tem
(setas para a esquerda); para
tem
(setas para a direita).
Comportamento para :
dá
; para
a solução cresce e diverge para
em tempo finito, com tempo de explosão
.
Ponto de equilíbrio:
Reta de fase: para
Comportamento para