Considere os problemas abaixo envolvendo equações da forma d y / d t=f(y). em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty
d y / d t=a y+b y^{2}, a>0, b>0, y_{0} geq 0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Os dados e pedidos são:
  • Equação diferencial autônoma dada: \dfrac{dy}{dt}=f(y)=a y + b y^{2} com a>0,\; b>0.
  • Condição inicial considerada: y(0)=y_{0} com y_{0}\ge 0.
    O enunciado pede:
  1. Esboçar o gráfico de f(y) em função de y.
  2. Determinar os pontos críticos (equilíbrios), isto é, soluções de f(y)=0.
  3. Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
  4. Desenhar a reta de fase (direção das setas para vários intervalos de y).
  5. Esboçar vários gráficos de soluções no plano t\!-\!y para condições iniciais y_{0}\ge 0.

Passo 2

Fatorar f(y) para ver melhor sua forma. Escrevendo
f(y)=a y + b y^{2}=y(a+b y).
Isto já mostra que os zeros de f aparecem quando y=0 ou a+b y=0.

Passo 3

Determinar os pontos de equilíbrio. São as soluções de f(y)=0:
y=0 \qquad\text{e}\qquad a+b y=0\Rightarrow y=-\frac{a}{b}.
Como a>0 e b>0, temos -\dfrac{a}{b}<0. Portanto os equilíbrios são y=0 (não-negativo) e y=-\dfrac{a}{b} (negativo).

Passo 4

Estudar o sinal de f(y) para esboçar o gráfico e a reta de fase. Como f(y)=y(a+b y) e o coeficiente de y^{2} é b>0, f(y) é uma parábola em y aberta para cima. Os dados úteis:
  • Zeros em y=-\dfrac{a}{b} e y=0.
  • O vértice da parábola está em y=-\dfrac{a}{2b} (ponto médio entre as raízes).
    Agora o sinal:
  • Para y>0: y>0 e a+b y>0 \Rightarrow f(y)>0.
  • Para -\dfrac{a}{b}<y<0: y<0 e a+b y>0 \Rightarrow f(y)<0.
  • Para y<-\dfrac{a}{b}: y<0 e a+b y<0 \Rightarrow f(y)>0.

Passo 5

Interpretação geométrica do gráfico f(y) e da reta de fase (passo a passo para desenhar):
  • Gráfico de f(y): parábola com concavidade para cima, corta o eixo y em y=0 e em y=-\dfrac{a}{b}. O valor mínimo (vértice) em y=-\dfrac{a}{2b} é negativo (pois a parábola atinge valor mínimo menor que zero).
  • Reta de fase (linha unidimensional que marca as posições y com setas indicando \dot y):
    • Em y>0: \dot y=f(y)>0 → setas para a direita (ou para cima se preferir vertical).
    • Em -\dfrac{a}{b}<y<0: \dot y<0 → setas para a esquerda.
    • Em y<-\dfrac{a}{b}: \dot y>0 → setas para a direita.
  • A partir disso já se observa que y=-\dfrac{a}{b} atrai soluções de ambos os lados (setas voltadas para ele) enquanto y=0 afasta as soluções do lado positivo (setas saindo dele para a direita).

Passo 6

Classificação dos equilíbrios por linearização (critério prático usado em provas): calcular f'(y) e avaliar em cada ponto fixo.
f'(y)=\frac{d}{dy}(a y + b y^{2})=a+2b y.
Avaliar:
  • Em y=0: f'(0)=a>0. Regra: se f'(y^{*})>0, o equilíbrio é instável (repelente). Logo y=0 é instável.
  • Em y=-\dfrac{a}{b}:
f'\!\left(-\frac{a}{b}\right)=a+2b\left(-\frac{a}{b}\right)=a-2a=-a<0.
Regra: se f'(y^{*})<0, o equilíbrio é assintoticamente estável (atrator). Logo y=-\dfrac{a}{b} é assintoticamente estável.
Explicação intuitiva: derivada positiva em 0 significa que pequenas perturbações positivas crescem; derivada negativa em -\dfrac{a}{b} significa que pequenas perturbações decaem de volta ao ponto.

Passo 7

Comportamento das soluções para y_{0}\ge 0 (isto é importante para a prova):
  • Caso y_{0}=0: a solução é a constante y(t)\equiv 0 (equilíbrio).
  • Caso y_{0}>0: pelo sinal de f(y) em y>0 temos \dot y>0, então y(t) é estritamente crescente. Além disso, para y grande o termo dominante é b y^{2} (porque y^{2} cresce mais rápido que y), portanto a equação se comporta qualitativamente como \dot y\approx b y^{2}, cuja solução explode em tempo finito. Conclusão: para qualquer y_{0}>0, y(t) cresce e diverge para +\infty em tempo finito. Assim a solução não se aproxima de um equilíbrio para y_{0}>0; ela “explode”.
  • Observação útil sobre dependência do tempo de explosão: quanto maior y_{0}, mais rápido ocorre a explosão; quando y_{0}\to 0^{+} o tempo de explosão tende a +\infty (isto é coerente com y=0 ser instável).

Passo 8

(Complemento didático: solução explícita e tempo de explosão — útil para prova e compreensão)
A equação é separável; integrar dá uma expressão fechada que mostra o tempo finito de explosão. Partindo de
\frac{dy}{y(a+b y)}=dt,
fazendo frações parciais:
\frac{1}{y(a+b y)}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{y}-\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{a+b y},
integra-se e obtém-se
\frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{y}{a+b y}\right)=t+C.
Isolando y com a condição inicial y(0)=y_{0} chega-se a
y(t)=\frac{a y_{0} e^{a t}}{a + b y_{0}\bigl(1-e^{a t}\bigr)}.
O denominador zera quando
a + b y_{0}\bigl(1-e^{a t}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{a t}=1+\frac{a}{b y_{0}}.
Portanto o tempo de explosão (tempo finito t^{*} em que y\to+\infty) é
t^{*}=\frac{1}{a}\ln\!\Bigl(1+\frac{a}{b y_{0}}\Bigr),
bem definido e finito para qualquer y_{0}>0. Quando y_{0}\to 0^{+} tem-se t^{*}\to+\infty, o que liga com o fato de y=0 ser instável: soluções com condições iniciais muito próximas de zero levam muito tempo para divergir.

Passo 9

Como desenhar os esboços no plano t\!-\!y (dicas práticas para a sua prova):
  • Traçar a solução constante y(t)=0.
  • Para cada y_{0}>0 desenhar uma curva crescente que fica cada vez mais inclinada e que atinge +\infty em um tempo finito t^{*} (marcar esse t^{*} na reta t se quiser).
  • Não há solução positiva que passe a ser negativa; com y_{0}\ge 0 as soluções permanecem \ge 0 até explodirem.
  • Se quisesse desenhar também soluções negativas (apesar do enunciado restringir y_{0}\ge 0): para -\dfrac{a}{b}<y_{0}<0 as soluções decaem monotonamente até y=-\dfrac{a}{b} (atrator), e para y_{0}<-\dfrac{a}{b} as soluções crescem até y=-\dfrac{a}{b}.

Resposta

Pontos de equilíbrio: y=0 — instável.
Ponto de equilíbrio: y=-\dfrac{a}{b} — assintoticamente estável.
Reta de fase: para y>0 tem \dot y>0 (setas para a direita); para -\dfrac{a}{b}<y<0 tem \dot y<0 (setas para a esquerda); para y<-\dfrac{a}{b} tem \dot y>0 (setas para a direita).
Comportamento para y_{0}\ge 0: y_{0}=0 y(t)\equiv 0; para y_{0}>0 a solução cresce e diverge para +\infty em tempo finito, com tempo de explosão t^{*}=\dfrac{1}{a}\ln\!\Bigl(1+\dfrac{a}{b y_{0}}\Bigr).

Exercícios relacionados