Os problemas a seguir envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
com
,
e condição inicial
. O que se pede, em cada caso, é:
- Esboçar o gráfico de
em função de (para ). - Determinar os pontos críticos (equilíbrios), ou seja, os valores de
tais que . - Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
- Desenhar a reta de fase (seta dos fluxos em cada intervalo) e esboçar vários gráficos solução no plano
.
Listei acima todas as informações do enunciado e as perguntas que vamos responder. Agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Definimos a função do lado direito
Observações iniciais úteis:
-
está definida só para , por isso trabalhamos nesse semi-eixo. - Em
temos , logo é candidato a equilíbrio. - Para grandes
, o termo domina e será positivo (cresce aproximadamente linearmente). - Para
muito pequeno e positivo, o termo domina (pois é maior que quando é pequeno), então será negativo perto de .
Essas observações já adivinham que o gráfico de
começa em
quando
, fica negativo para pequenos
, e depois sobe cruzando o eixo em algum ponto positivo, ficando positivo para
maiores.
Passo 3
Vamos achar exatamente os equilíbrios resolvendo
:
Fatorando
(válido para
):
As soluções são:
ou
Portanto os equilíbrios são
Passo 4
Análise do sinal de
para determinar fluxo (reta de fase):
- Para
: tem-se , então e, por fatoração, . Logo nesse intervalo: trajetórias descem (setas para a esquerda na reta de fase). - Para
: tem-se , logo . Então : trajetórias sobem (setas para a direita). - Em
e temos (pontos críticos).
Assim a reta de fase no semi-eixo
é: em
um equilíbrio; para
setas apontando para
; em
setas apontando para
.
Passo 5
Classificação por linearização (quando possível) e por análise direta.
Calcule a derivada de
para
:
- Em
, temos . Substituindo:
Como a derivada é positiva em
, a linearização indica que
é um ponto de equilíbrio instável (pequenas perturbações à esquerda são empurradas para mais baixo; pequenas perturbações à direita são empurradas para cima — em ambos os lados o fluxo afasta de
).
- Em
a expressão não é definida (o termo diverge quando ). Portanto a linearização falha em e precisamos analisar diretamente o comportamento das soluções próximas a . Pela análise do sinal feita no passo anterior, para todo tem-se , ou seja, as soluções diminuem em direção a . Isso sugere que atrai soluções que começam em . Mas vamos melhorar essa conclusão encontrando uma forma explícita de solução (ou pelo menos da transformação que facilita a análise).
Passo 6
Transformação útil: faça a substituição
Então, usando
, a equação original
vira, para
,
Dividindo por
(válido enquanto
):
Essa é uma equação linear de 1.ª ordem em
, fácil de resolver. A solução geral (para
enquanto positiva) com condição inicial
é
Observações importantes sobre essa expressão:
- Se
então e portanto : esse é o equilíbrio . - Se
então e a exponencial cresce com (já que ), logo quando . Assim : soluções iniciadas acima de crescem sem limite. - Se
então . Como cresce sem limite para , o termo torna-se grande em módulo e negativo, de modo que chega a zero em tempo finito (pois a soma com zera em tempo finito). Esse tempo de extinção (tempo em que , isto é ) é dado por
e portanto
Depois de atingir
(ou seja,
) a solução permanece em
para todo
(porque
é equilíbrio e as soluções não passam para
pelo domínio). Logo, para
a solução decresce e atinge
em tempo finito; depois fica estacionária em
.
Conclusões desta análise exata:
- Para
as soluções vão para e chegam lá em tempo finito (extinção em tempo finito). - Para
ficam constantes em . - Para
as soluções crescem e tendem a quando .
Passo 7
Classificação final dos equilíbrios (com explicação):
-
: é um equilíbrio que atrai toda vizinhança à direita até . Trajetórias com chegam a em tempo finito e permanecem lá. Assim é estável e atrativo — na terminologia pedida classificamos como assintoticamente estável (mais forte: atrai em tempo finito). Não é semiestável no sentido clássico ambidirecional porque o domínio considera apenas ; dentro do domínio relevante, atrai soluções próximas por sua direita. -
: é um equilíbrio instável (linearização dá ; sinais de mostram que as soluções de ambos os lados se afastam de ).
Passo 8
Descrição da reta de fase e esboço das soluções no plano
-
(como desenhar na prova):
- Reta de fase (no eixo
): marque e . Em setas para a esquerda (fluxo decrescente até ). Em setas para a direita (fluxo crescente). - Gráficos solução no plano
: desenhar três tipos: -
: curva decrescente que atinge em um tempo finito e depois fica constante para . -
: linha horizontal constante em . -
: curva que cresce e tende a quando ; visto em termos de , cresce exponencialmente como , então cresce como ~ em grande .
-
Resposta
Equilíbrios:
e
.
Classificação: — assintoticamente estável (atrai soluções com
, que chegam a
em tempo finito);
— instável (repulsor).
Classificação: