Os problemas a seguir envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
d y / d t=a y-b \sqrt{y}, \quad a>0, \quad b>0, \quad y_{0} \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dt}=a y - b\sqrt{y},
com a>0, b>0 e condição inicial y(0)=y_0\ge 0. O que se pede, em cada caso, é:
  • Esboçar o gráfico de f(y)=a y - b\sqrt{y} em função de y (para y\ge0).
  • Determinar os pontos críticos (equilíbrios), ou seja, os valores de y tais que f(y)=0.
  • Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
  • Desenhar a reta de fase (seta dos fluxos em cada intervalo) e esboçar vários gráficos solução no plano t\!-\!y.
Listei acima todas as informações do enunciado e as perguntas que vamos responder. Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Definimos a função do lado direito
f(y)=a y - b\sqrt{y},\qquad y\ge0.
Observações iniciais úteis:
  • \sqrt{y} está definida só para y\ge0, por isso trabalhamos nesse semi-eixo.
  • Em y=0 temos f(0)=a\cdot 0 - b\sqrt{0}=0, logo y=0 é candidato a equilíbrio.
  • Para grandes y, o termo a y domina e f(y) será positivo (cresce aproximadamente linearmente).
  • Para y muito pequeno e positivo, o termo -b\sqrt{y} domina (pois \sqrt{y} é maior que y quando y é pequeno), então f(y) será negativo perto de 0^+.
Essas observações já adivinham que o gráfico de f começa em 0 quando y=0, fica negativo para pequenos y>0, e depois sobe cruzando o eixo em algum ponto positivo, ficando positivo para y maiores.

Passo 3

Vamos achar exatamente os equilíbrios resolvendo f(y)=0:
a y - b\sqrt{y}=0.
Fatorando \sqrt{y} (válido para y\ge0):
\sqrt{y}\,\bigl(a\sqrt{y}-b\bigr)=0.
As soluções são:
\sqrt{y}=0\quad\Rightarrow\quad y=0,
ou
a\sqrt{y}-b=0\quad\Rightarrow\quad \sqrt{y}=\frac{b}{a}\quad\Rightarrow\quad y=\left(\frac{b}{a}\right)^2.
Portanto os equilíbrios são
y_1=0,\qquad y_2=\left(\frac{b}{a}\right)^2.

Passo 4

Análise do sinal de f(y) para determinar fluxo (reta de fase):
  • Para 0<y<\left(\dfrac{b}{a}\right)^2: tem-se \sqrt{y}<\dfrac{b}{a}, então a\sqrt{y}-b<0 e, por fatoração, f(y)=\sqrt{y}\,(a\sqrt{y}-b)<0. Logo \dfrac{dy}{dt}<0 nesse intervalo: trajetórias descem (setas para a esquerda na reta de fase).
  • Para y>\left(\dfrac{b}{a}\right)^2: tem-se a\sqrt{y}-b>0, logo f(y)>0. Então \dfrac{dy}{dt}>0: trajetórias sobem (setas para a direita).
  • Em y=0 e y=\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 temos f=0 (pontos críticos).
Assim a reta de fase no semi-eixo y\ge0 é: em 0 um equilíbrio; para 0<y<y_2 setas apontando para 0; em y>y_2 setas apontando para +\infty.

Passo 5

Classificação por linearização (quando possível) e por análise direta.
Calcule a derivada de f para y>0:
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(a y - b\sqrt{y}\bigr)=a - \frac{b}{2\sqrt{y}}.
  • Em y_2=\left(\dfrac{b}{a}\right)^2, temos \sqrt{y_2}=\dfrac{b}{a}. Substituindo:
f'(y_2)=a - \frac{b}{2\,(b/a)}=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0.
Como a derivada é positiva em y_2, a linearização indica que y_2 é um ponto de equilíbrio instável (pequenas perturbações à esquerda são empurradas para mais baixo; pequenas perturbações à direita são empurradas para cima — em ambos os lados o fluxo afasta de y_2).
  • Em y=0 a expressão f'(y) não é definida (o termo -b/(2\sqrt{y}) diverge quando y\to0^+). Portanto a linearização falha em 0 e precisamos analisar diretamente o comportamento das soluções próximas a 0. Pela análise do sinal feita no passo anterior, para todo 0<y<y_2 tem-se f(y)<0, ou seja, as soluções diminuem em direção a 0. Isso sugere que y=0 atrai soluções que começam em 0<y<y_2. Mas vamos melhorar essa conclusão encontrando uma forma explícita de solução (ou pelo menos da transformação que facilita a análise).

Passo 6

Transformação útil: faça a substituição
u(t)=\sqrt{y(t)},\qquad y=u^2.
Então, usando dy/dt=2u\,du/dt, a equação original
\frac{dy}{dt}=a y - b\sqrt{y}
vira, para u>0,
2u\frac{du}{dt}=a u^2 - b u.
Dividindo por 2u (válido enquanto u>0):
\frac{du}{dt}=\frac{a}{2}u - \frac{b}{2}.
Essa é uma equação linear de 1.ª ordem em u, fácil de resolver. A solução geral (para u enquanto positiva) com condição inicial u(0)=u_0=\sqrt{y_0} é
u(t)=\frac{b}{a} +\biggl(u_0-\frac{b}{a}\biggr)e^{\frac{a}{2}t}.
Observações importantes sobre essa expressão:
  • Se u_0=\dfrac{b}{a} então u(t)\equiv \dfrac{b}{a} e portanto y(t)\equiv\left(\dfrac{b}{a}\right)^2: esse é o equilíbrio y_2.
  • Se u_0>\dfrac{b}{a} então u_0-\dfrac{b}{a}>0 e a exponencial cresce com t (já que a>0), logo u(t)\to+\infty quando t\to+\infty. Assim y(t)=u(t)^2\to+\infty: soluções iniciadas acima de y_2 crescem sem limite.
  • Se 0<u_0<\dfrac{b}{a} então u_0-\dfrac{b}{a}<0. Como e^{\frac{a}{2}t} cresce sem limite para t\to+\infty, o termo \bigl(u_0-\dfrac{b}{a}\bigr)e^{\frac{a}{2}t} torna-se grande em módulo e negativo, de modo que u(t) chega a zero em tempo finito T (pois a soma com b/a zera em tempo finito). Esse tempo de extinção (tempo T em que u(T)=0, isto é y(T)=0) é dado por
0=\frac{b}{a} +\biggl(u_0-\frac{b}{a}\biggr)e^{\frac{a}{2}T} \quad\Rightarrow\quad e^{\frac{a}{2}T}=\frac{\dfrac{b}{a}}{\dfrac{b}{a}-u_0}
e portanto
T=\frac{2}{a}\ln\!\biggl(\frac{b/a}{\,b/a-u_0\,}\biggr)=\frac{2}{a}\ln\!\biggl(\frac{b}{b-a u_0}\biggr).
Depois de atingir u=0 (ou seja, y=0) a solução permanece em y=0 para todo t\ge T (porque y=0 é equilíbrio e as soluções não passam para y<0 pelo domínio). Logo, para 0<y_0<y_2 a solução decresce e atinge 0 em tempo finito; depois fica estacionária em 0.
Conclusões desta análise exata:
  • Para y_0\in(0,y_2) as soluções vão para 0 e chegam lá em tempo finito (extinção em tempo finito).
  • Para y_0=y_2 ficam constantes em y_2.
  • Para y_0>y_2 as soluções crescem e tendem a +\infty quando t\to\infty.

Passo 7

Classificação final dos equilíbrios (com explicação):
  • y=0: é um equilíbrio que atrai toda vizinhança à direita até y_2. Trajetórias com 0<y_0<y_2 chegam a 0 em tempo finito e permanecem lá. Assim y=0 é estável e atrativo — na terminologia pedida classificamos como assintoticamente estável (mais forte: atrai em tempo finito). Não é semiestável no sentido clássico ambidirecional porque o domínio considera apenas y\ge0; dentro do domínio relevante, 0 atrai soluções próximas por sua direita.
  • y=y_2=\left(\dfrac{b}{a}\right)^2: é um equilíbrio instável (linearização dá f'(y_2)=a/2>0; sinais de f mostram que as soluções de ambos os lados se afastam de y_2).

Passo 8

Descrição da reta de fase e esboço das soluções no plano t- y (como desenhar na prova):
  • Reta de fase (no eixo y\ge0): marque 0 e y_2. Em (0,y_2) setas para a esquerda (fluxo decrescente até 0). Em (y_2,\infty) setas para a direita (fluxo crescente).
  • Gráficos solução no plano t\!-\!y: desenhar três tipos:
    1. 0<y_0<y_2: curva decrescente que atinge y=0 em um tempo finito T e depois fica constante y(t)=0 para t\ge T.
    2. y_0=y_2: linha horizontal constante em y=y_2.
    3. y_0>y_2: curva que cresce e tende a +\infty quando t\to\infty; visto em termos de u=\sqrt{y}, u(t) cresce exponencialmente como \sim e^{\frac{a}{2}t}, então y(t) cresce como ~ e^{a t} em grande t.

Resposta

Equilíbrios: y=0 e y=\left(\dfrac{b}{a}\right)^2.
Classificação: y=0 — assintoticamente estável (atrai soluções com 0<y_0<\left(\dfrac{b}{a}\right)^2, que chegam a 0 em tempo finito);
y=\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 — instável (repulsor).

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