Considere que um processo seja representado por um sistema de primeira ordem com atraso, na forma:
y(s)u(s)=G(s)=K cdot e^-b cdot stau cdot s+1
Aplicando-se um degrau de amplitude A, o sistema alcançará 63,2 % do valor último em que tempo?
(a) tau
(b) b
(c) tau+b
(d) 1 / tau
(e) tau / b

Passo 1

O enunciado dá um sistema de primeira ordem com atraso
G(s)=K,e^-b,stau,s+1
e aplica-se nele um degrau de amplitude A. A pergunta é: em que tempo a saída atinge 63,2% do valor último? Para resolver, vamos usar a transformada inversa de Laplace considerando o atraso e depois igualar a resposta ao 63,2% do valor final.

Passo 2

Primeiro, encontramos a resposta ao degrau. Em domínio s:
Y(s)=G(s),As =K,A,e^-b,ss(tau,s+1)
Pela propriedade do atraso na transformada inversa, obtemos
y(t)= 0, & t<b, K,Al(1-e^-t-btaur), & t>= b

Passo 3

O valor último (quando ttoinfty) é
y(infty)=K,A
Queremos o tempo t tal que
y(t)=0,632,y(infty) Longrightarrow K,Al(1-e^-t-btaur)=0,632,K,A

Passo 4

Cancelando K,A e isolando a exponencial:
1-e^-t-btau=0,632 Longrightarrow e^-t-btau=0,368
Como 0,368approx e^-1, segue
-t-btau=-1 Longrightarrow t-b=tau Longrightarrow t=tau+b

Resposta

(c) tau + b

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