Considere o produto escalar entre duas funções
e
definido por
Calcule para: onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá o produto escalar
e as funções (para
):
A tarefa é calcular o valor de
usando os dados acima.
Passo 2
Primeiro, note que
é uma função real e constante, então o conjugado complexo é igual à própria função:
Substituindo na definição do produto escalar obtemos:
Fatorando constantes fora da integral:
Passo 3
Vamos calcular a integral
. A primitiva da função
em relação a
é
(pois a derivada de
é
). Assim,
Passo 4
Usando a paridade da função seno,
, a diferença fica
Portanto
Substituindo esse resultado em
obtemos
Como o enunciado está formulado para os casos usuais de séries de Fourier, assume-se que
é um inteiro não nulo; para todo inteiro
vale
. Assim o valor do produto escalar é zero.
Passo 5
Interpretação didática curta: o resultado zero significa que a função constante
é ortogonal a
quando
é um inteiro não nulo, no espaço de funções com esse produto escalar sobre
. Isso é a razão pela qual, em séries de Fourier, os coeficientes de cosseno para a média (componente constante) desaparecem quando
. Força aí — essa propriedade de ortogonalidade simplifica muito cálculos em provas!