Considere o produto escalar entre duas funções f(x) e g(x) definido por
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x) g(x) d x
Calcule para: onde n \neq 0.
f(x)=\frac{1}{2}, g(x)=\cos (n x)

Passo 1

O enunciado nos dá o produto escalar
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x)\,g(x)\,dx
e as funções (para \,n\neq 0\,):
f(x)=\frac{1}{2},\qquad g(x)=\cos(nx).
A tarefa é calcular o valor de \langle f\mid g\rangle usando os dados acima.

Passo 2

Primeiro, note que f(x)=\dfrac{1}{2} é uma função real e constante, então o conjugado complexo é igual à própria função:
f^{*}(x)=\frac{1}{2}.
Substituindo na definição do produto escalar obtemos:
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\cos(nx)\,dx.
Fatorando constantes fora da integral:
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx.

Passo 3

Vamos calcular a integral \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx. A primitiva da função \cos(nx) em relação a x é \dfrac{1}{n}\sin(nx) (pois a derivada de \sin(nx) é n\cos(nx)). Assim,
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left[\frac{1}{n}\sin(nx)\right]_{x=-\pi}^{x=\pi}=\frac{1}{n}\bigl(\sin(n\pi)-\sin(-n\pi)\bigr).

Passo 4

Usando a paridade da função seno, \sin(-n\pi)=-\sin(n\pi), a diferença fica
\sin(n\pi)-\sin(-n\pi)=2\sin(n\pi).
Portanto
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\frac{2}{n}\sin(n\pi).
Substituindo esse resultado em \langle f\mid g\rangle obtemos
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2}{n}\sin(n\pi)=\frac{1}{\pi n}\sin(n\pi).
Como o enunciado está formulado para os casos usuais de séries de Fourier, assume-se que n é um inteiro não nulo; para todo inteiro n vale \sin(n\pi)=0. Assim o valor do produto escalar é zero.

Passo 5

Interpretação didática curta: o resultado zero significa que a função constante \dfrac{1}{2} é ortogonal a \cos(nx) quando n é um inteiro não nulo, no espaço de funções com esse produto escalar sobre [-\pi,\pi]. Isso é a razão pela qual, em séries de Fourier, os coeficientes de cosseno para a média (componente constante) desaparecem quando n\neq 0. Força aí — essa propriedade de ortogonalidade simplifica muito cálculos em provas!

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