Considere o produto escalar entre duas funções f(x) e g(x) definido por
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x) g(x) d x
Calcule para: onde n \neq 0.
f(x)=\cos (n x), g(x)=\sin (n x)

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que ele nos deu.
  • Está definida a forma de produto escalar
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x)\,g(x)\,dx.
  • As funções são f(x)=\cos(nx) e g(x)=\sin(nx) com n\neq 0.
  • O que se pede: calcular o valor numérico de \langle f\mid g\rangle para essas funções.

Passo 2

Observação sobre conjugação e realismo das funções: \cos(nx) e \sin(nx) são funções reais, então f^{*}(x)=f(x)=\cos(nx). Portanto o produto escalar fica
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Usar uma identidade trigonométrica prática. A identidade de dobro ângulo para seno é
\sin(2A)=2\sin(A)\cos(A).
Isolando \sin(A)\cos(A) obtemos
\sin(A)\cos(A)=\tfrac{1}{2}\sin(2A).
Aplicando com A=nx transforma o integrando:
\cos(nx)\sin(nx)=\tfrac{1}{2}\sin(2nx).
Substituindo na integral:
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\tfrac{1}{2}\sin(2nx)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(2nx)\,dx.

Passo 4

Avaliar a integral. Há duas maneiras simples de ver que essa integral é zero; apresento as duas (escolha a que achar mais direta na prova).
Método A — paridade (mais rápido): a função \sin(2nx) é ímpar, pois
\sin(2n(-x))=-\sin(2nx).
A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-\pi,\pi] vale zero. Logo
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(2nx)\,dx=0,
e portanto \langle f\mid g\rangle=0.
Método B — primitiva e avaliação de limites: uma primitiva de \sin(2nx) é
\int \sin(2nx)\,dx=-\frac{1}{2n}\cos(2nx).
Avaliando de -\pi a \pi:
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(2nx)\,dx=-\frac{1}{2n}\bigl(\cos(2n\pi)-\cos(-2n\pi)\bigr).
Como o cosseno é função par, \cos(2n\pi)=\cos(-2n\pi), a diferença é zero, então a integral é zero. Logo novamente \langle f\mid g\rangle=0.

Passo 5

Interpretação curta e dica de prova: o resultado zero mostra que \cos(nx) e \sin(nx) são ortogonais no intervalo [-\pi,\pi]. Em provas, o atalho da paridade da função integranda costuma ser o mais rápido para justificar que a integral é zero.

Resposta

\langle f\mid g\rangle=0

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