Considere o produto escalar entre duas funções
e
definido por
Calcule para: onde
.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que ele nos deu.
- Está definida a forma de produto escalar
- As funções são
e com . - O que se pede: calcular o valor numérico de
para essas funções.
Passo 2
Observação sobre conjugação e realismo das funções:
e
são funções reais, então
. Portanto o produto escalar fica
Passo 3
Usar uma identidade trigonométrica prática. A identidade de dobro ângulo para seno é
Isolando
obtemos
Aplicando com
transforma o integrando:
Substituindo na integral:
Passo 4
Avaliar a integral. Há duas maneiras simples de ver que essa integral é zero; apresento as duas (escolha a que achar mais direta na prova).
Método A — paridade (mais rápido): a função
é ímpar, pois
A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
vale zero. Logo
e portanto
.
Método B — primitiva e avaliação de limites: uma primitiva de
é
Avaliando de
a
:
Como o cosseno é função par,
, a diferença é zero, então a integral é zero. Logo novamente
.
Passo 5
Interpretação curta e dica de prova: o resultado zero mostra que
e
são ortogonais no intervalo
. Em provas, o atalho da paridade da função integranda costuma ser o mais rápido para justificar que a integral é zero.