Considere R^4 com o produto interno canônico. Sejam l1=(1,1,1,1), l2=(1,2,4,5) e l3=(1,-3,-4,-2). Utilize o processo de ortogonalização de GramSchmidt para encontrar uma base ortonormal do subespaço vetorial M=spanl1, l2, l3.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de
M=spanl1,l2,l3subsetR^4
com o produto interno canônico. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que gera vetores mutuamente ortogonais
u1,u2,u3 e depois normaliza cada um para obter
e1,e2,e3.

Passo 2

Definimos
u1=l1=(1,1,1,1)
O quadrado da norma é
lang<= u1,u1rang<= =1+1+1+1=4,
logo
e1=u1|u1|=12(1,1,1,1)

Passo 3

Agora ortogonalizamos l2 em relação a u1. O projétil de l2=(1,2,4,5) sobre u1 é
proju1(l2) =lang<= l2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =1+2+4+54,(1,1,1,1) =3,(1,1,1,1)=(3,3,3,3)
Logo
u2=l2-proju1(l2) =(1,2,4,5)-(3,3,3,3)=(-2,-1,1,2)
Calculamos a norma ao quadrado:
lang<= u2,u2rang<= =(-2)^2+(-1)^2+1^2+2^2=10,
de onde
e2=u2|u2|=1raiz10(-2,-1,1,2)

Passo 4

Finalmente ortogonalizamos l3=(1,-3,-4,-2) em relação a u1 e u2.
Primeiro
proju1(l3) =1-3-4-24,(1,1,1,1) =-2,(1,1,1,1)=(-2,-2,-2,-2)
Depois
proju2(l3) =lang<= l3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2 =-710(-2,-1,1,2) =l(tfrac75,tfrac710,-tfrac710,-tfrac75r)
Subtraímos dos dois projéteis:
u3 =l3-proju1(l3)-proju2(l3) =l(1,-3,-4,-2r) -(-2,-2,-2,-2) -l(tfrac75,tfrac710,-tfrac710,-tfrac75r)
=l(tfrac85,-tfrac1710,-tfrac1310,tfrac75r) =110(16,-17,-13,14)
O quadrado da norma de u3
|u3|^2=9,1=9110,
logo
e3=u3|u3| =110,(16,-17,-13,14),/raiz9110 =1raiz910,(16,-17,-13,14)

Resposta

Uma base ortonormal de M é
e1=12(1,1,1,1), e2=1raiz10(-2,-1,1,2), e3=1raiz910(16,-17,-13,14)

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