Diga se os sistemas abaixo tem única, infinitas ou nenhuma solução analizando os postos de suas matrizes. Então resolva-os, se for o caso.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
- x - y + z = 0, 2x + y + z = 1, 5x + 4y - 2z = 1,
e pede para determinar se há solução única, infinita ou nenhuma, usando o posto (rank) da matriz de coeficientes A e da matriz aumentada (Amid b). Vamos aplicar eliminação de Gauss para encontrar o posto de cada uma e, em seguida, resolver se houver soluções.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes e a matriz aumentada :
Passo 3
Aplicamos eliminação de Gauss na forma aumentada. Primeiro, simplifico a primeira linha multiplicando por :
Em seguida, anulo as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
resultando em
Passo 4
Observamos que a segunda e a terceira linha agora coincidem. Prosseguimos anulando a terceira linha:
Logo, a matriz de coeficientes tem duas linhas não nulas, então
Como (número de incógnitas), o sistema tem infinitas soluções.
Passo 5
Para descrever as soluções, introduzimos o parâmetro ;t=z. Da segunda linha escalonada
0cdot x +(-1),y +3,z =1 ;Longrightarrow; -,y +3t =1 ;Longrightarrow; y =3t -1
Da primeira linha
x + y - z =0 ;Longrightarrow; x + (3t-1) - t =0 ;Longrightarrow; x =1 -2t