Diga se os sistemas abaixo tem única, infinitas ou nenhuma solução analizando os postos de suas matrizes. Então resolva-os, se for o caso.
(c) x+y+2 z & =8 -x-2 y+3 z & =1 3 x-7 y+4 z & =10

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
x + y + 2z = 8, -,x - 2y + 3z = 1, 3x - 7y + 4z = 10
O conteúdo envolve análise de postos de matrizes para decidir se o sistema é impossível, determinado ou indeterminado, e em seguida resolução por eliminação de Gauss quando há solução única.

Passo 2

Matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 2 -1 & -2 & 3 3 & -7 & 4
Calculamos
det(A) = 1l((-2)cdot 4 - 3cdot(-7)r) - 1l((-1)cdot 4 - 3cdot 3r) + 2l((-1)cdot(-7) - (-2)cdot 3r) = 52 neq 0
Como det(A)neq 0, temos posto(A)=3 e o posto da matriz aumentada também é 3. Logo o sistema é possível e determinado (solução única).

Passo 3

Usamos eliminação de Gauss para achar (x,y,z).
Somando a equação 1 com a 2:
(x + y + 2z) + (-x - 2y + 3z) = 8 + 1 Longrightarrow -,y + 5z = 9 Rightarrow y = 5z - 9
Substituindo em x + y + 2z = 8:
x + (5z - 9) + 2z = 8 Longrightarrow x + 7z = 17 Rightarrow x = 17 - 7z
Agora em 3x - 7y + 4z = 10:
3(17 - 7z) - 7(5z - 9) + 4z = 10 ;Longrightarrow; 51 - 21z - 35z + 63 + 4z = 10 ;Longrightarrow; 114 - 52z = 10 ;Longrightarrow; z = 2
Então
;y = 5cdot2 - 9 = 1,
;x = 17 - 7cdot2 = 3

Resposta

O sistema tem solução única:
(x,y,z) = (3,,1,,2)

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