Considere em R^2 o produto interno
<(x1, y1)(x2, y2)>=x1 x2-x1 y2-x2 y1+3 y1 y2
encontre theta, sendo theta o ângulo entre os vetores u=(1,-1) and v=(2,1).

Passo 1

O enunciado define em R^2 o produto interno
lang<=(x1,y1),(x2,y2)rang<= = x1x2 - x1y2 - x2y1 + 3y1y2
e pede o ângulo theta entre os vetores u=(1,-1) e v=(2,1). Para isso vamos usar a definição de ângulo em espaços com produto interno:
costheta = lang<= u,vrang<=|u|;|v|
onde |w| = raizlang<= w,wrang<=.

Passo 2

Vamos calcular o produto interno lang<= u,vrang<=. Tomando u=(x1,y1)=(1,-1) e v=(x2,y2)=(2,1), temos
lang<= u,vrang<= = 1cdot2 ;-;1cdot1;-;2cdot(-1);+;3cdot(-1)cdot1 =2 -1 +2 -3 =0

Passo 3

Agora calculamos lang<= u,urang<= e lang<= v,vrang<= para obter as normas.
Para u=(1,-1):
lang<= u,urang<= = 1^2 -2cdot1cdot(-1) +3cdot(-1)^2 =1 +2 +3 =6,
logo |u| = raiz6.
Para v=(2,1):
lang<= v,vrang<= = 2^2 -2cdot2cdot1 +3cdot1^2 =4 -4 +3 =3,
logo |v| = raiz3.

Passo 4

Substituindo em costheta = dfraclang<= u,vrang<=|u||v| temos
costheta = 0raiz6,raiz3 = 0
e portanto
theta = pi2

Resposta

theta = dfracpi2 (ou 90^circ).

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