Considere em
o produto interno
Verifique se realmente é um produto interno;
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pede para verificar se ela satisfaz os axiomas de produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria, ou seja, se
Pela fórmula dada, trocar
com
apenas inverte os termos
e
, que aparecem somados, logo a expressão permanece a mesma. Portanto é simétrica.
Passo 3
Mostramos a bilinearidade: basta notar que, fixando
, a expressão
é soma de termos cada um linear em
ou em
. Isso garante linearidade em cada argumento, ou seja,
e análogo para o segundo argumento.
Passo 4
Verificamos a positividade definida calculando
Como
e
, temos
, e a igualdade só ocorre se
e
, ou seja,
e
. Assim para todo vetor não-nulo o valor é estritamente positivo.
Resposta
Sim, essa aplicação é um produto interno em
, pois satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida.