Considere em R^2 o produto interno
<(x1, y1)(x2, y2)>=x1 x2-x1 y2-x2 y1+3 y1 y2
Verifique se realmente é um produto interno;

Passo 1

O enunciado define em R^2 a aplicação
lang<= (x1,y1),(x2,y2)rang<= = x1x2-x1y2-x2y1+3y1y2
e pede para verificar se ela satisfaz os axiomas de produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria, ou seja, se
lang<= (x1,y1),(x2,y2)rang<= =lang<= (x2,y2),(x1,y1)rang<=
Pela fórmula dada, trocar (x1,y1) com (x2,y2) apenas inverte os termos -x1y2 e -x2y1, que aparecem somados, logo a expressão permanece a mesma. Portanto é simétrica.

Passo 3

Mostramos a bilinearidade: basta notar que, fixando (x2,y2), a expressão
x1x2-x1y2-x2y1+3y1y2
é soma de termos cada um linear em x1 ou em y1. Isso garante linearidade em cada argumento, ou seja,
lang<= u+v,wrang<==lang<= u,wrang<=+lang<= v,wrang<=, lang<= lambda u,wrang<==lambdalang<= u,wrang<=
e análogo para o segundo argumento.

Passo 4

Verificamos a positividade definida calculando
lang<= (x,y),(x,y)rang<= = x^2-2xy+3y^2 = (x-y)^2+2y^2
Como (x-y)^2>=0 e 2y^2>=0, temos lang<= (x,y),(x,y)rang<=>=0, e a igualdade só ocorre se x-y=0 e y=0, ou seja, x=0 e y=0. Assim para todo vetor não-nulo o valor é estritamente positivo.

Resposta

Sim, essa aplicação é um produto interno em R^2, pois satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida.

Exercícios relacionados