Considere em R^2 o produto interno
<(x1, y1)(x2, y2)>=x1 x2-x1 y2-x2 y1+3 y1 y2
a partir da base beta=(1,0),(0,1) ache uma base ortonormal;

Passo 1

O enunciado define em R^2 o produto interno
lang<=(x1,y1),(x2,y2)rang<= = x1x2-x1y2-x2y1+3,y1y2
e pede uma base ortonormal partindo da base canônica beta=(1,0),(0,1). Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt e depois normalizar cada vetor.

Passo 2

Tomamos v1=(1,0). Seu comprimento é
|v1| = raizlang<= v1,v1rang<= = raiz1cdot1 - 1cdot0 - 1cdot0 +3cdot0cdot0 = raiz1 = 1
Logo o primeiro vetor ortonormal é
e1 = v1|v1| = (1,0)

Passo 3

Pegamos v2=(0,1) e projetamos em e1. Primeiro calculamos
lang<= v2,e1rang<= = 0cdot1 - 0cdot0 -1cdot1 +3cdot1cdot0 = -1
A projeção de v2 sobre e1 é -1,e1=(-1,0), portanto o componente orthogonal é
u2 = v2 -(-1,0) = (1,1)

Passo 4

Agora normalizamos u2. Seu comprimento é
|u2| = raizlang<= u2,u2rang<= = raiz1cdot1 -1cdot1 -1cdot1 +3cdot1cdot1 = raiz2
Assim o segundo vetor ortonormal é
e2 = u2|u2| = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Resposta

Uma base ortonormal para esse produto interno é
l, (1,0),; (tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)r

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