Considere o triângulo retângulo de vértices \mathrm{A}=(0,0) e \mathrm{B}=(2,0).
Suponha que o ângulo \mathrm{B} \hat{\mathrm{A}} \mathrm{C} mede 30^{\circ}.
Sabendo que o vetor AB sofre uma rotação de 30^{\circ}, no sentido horário ou anti-horário, para determinar a direção de AC:
a) Determine a matriz de rotação correspondente.
b) Determine os vetores rotacionados.
c) Determine as possíveis coordenadas do vértice C.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede coisas claras (estou pegando os números do enunciado):
Vértices dados: \mathrm{A}=(0,0) e \mathrm{B}=(2,0).
O vetor \overrightarrow{AB} é \mathrm{B}-\mathrm{A}=(2,0).
O ângulo \mathrm{B}\hat{\mathrm{A}}\mathrm{C} mede 30^\circ. Isso significa que a direção de \overrightarrow{AC} é obtida rotacionando \overrightarrow{AB} por 30^\circ, podendo ser no sentido anti-horário (positivo) ou no sentido horário (negativo).
O que o enunciado pede:
(a) determinar a(s) matriz(es) de rotação correspondente(s);
(b) determinar os vetores rotacionados (ou seja, \overrightarrow{AC} em cada caso);
(c) determinar as possíveis coordenadas do vértice \mathrm{C}.
Passo 2
Conceito e fórmula da matriz de rotação (aula curta e prática).
Quando um vetor em \mathbb{R}^2 é rotacionado em torno da origem por um ângulo \theta (sentido anti-horário positivo), a transformação linear que faz isso tem matriz, na base canônica:
Se a rotação for no sentido horário por 30^\circ, usamos \theta=-30^\circ; se for anti-horário usamos \theta=+30^\circ. A razão é a convenção matemática: ângulos positivos = anti-horário.
A rotação foi feita em torno de \mathrm{A}=(0,0) (aqui A é a origem), logo o vetor \overrightarrow{AC} é exatamente o vetor rotacionado calculado. Assim as coordenadas de \mathrm{C} são \mathrm{A} + \overrightarrow{AC}.
Como \mathrm{A}=(0,0), as coordenadas de \mathrm{C} coincidem com os componentes do vetor rotacionado:
Se a rotação for anti-horário +30^\circ: \mathrm{C}=\bigl(\sqrt{3},\,1\bigr).
Se a rotação for horário -30^\circ: \mathrm{C}=\bigl(\sqrt{3},\,-1\bigr).
Observação rápida e útil para a prova: rotação preserva comprimento, então |\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}|=2. Isso bate com os vetores encontrados, pois \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.