Considere o triângulo retângulo de vértices \mathrm{A}=(0,0) e \mathrm{B}=(2,0).
Suponha que o ângulo \mathrm{B} \hat{\mathrm{A}} \mathrm{C} mede 30^{\circ}.
Sabendo que o vetor AB sofre uma rotação de 30^{\circ}, no sentido horário ou anti-horário, para determinar a direção de AC:
a) Determine a matriz de rotação correspondente.
b) Determine os vetores rotacionados.
c) Determine as possíveis coordenadas do vértice C.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede coisas claras (estou pegando os números do enunciado):
  • Vértices dados: \mathrm{A}=(0,0) e \mathrm{B}=(2,0).
  • O vetor \overrightarrow{AB} é \mathrm{B}-\mathrm{A}=(2,0).
  • O ângulo \mathrm{B}\hat{\mathrm{A}}\mathrm{C} mede 30^\circ. Isso significa que a direção de \overrightarrow{AC} é obtida rotacionando \overrightarrow{AB} por 30^\circ, podendo ser no sentido anti-horário (positivo) ou no sentido horário (negativo).
    O que o enunciado pede:
    (a) determinar a(s) matriz(es) de rotação correspondente(s);
    (b) determinar os vetores rotacionados (ou seja, \overrightarrow{AC} em cada caso);
    (c) determinar as possíveis coordenadas do vértice \mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula da matriz de rotação (aula curta e prática).
  • Quando um vetor em \mathbb{R}^2 é rotacionado em torno da origem por um ângulo \theta (sentido anti-horário positivo), a transformação linear que faz isso tem matriz, na base canônica:
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
  • Se a rotação for no sentido horário por 30^\circ, usamos \theta=-30^\circ; se for anti-horário usamos \theta=+30^\circ. A razão é a convenção matemática: ângulos positivos = anti-horário.
  • Valores trigonométricos úteis (muito usados aqui):
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}.
Vou usar isso para montar as matrizes numéricas.]

Passo 3

Escrevendo explicitamente as duas matrizes (anti-horário +30^\circ e horário -30^\circ).
  • Rotação anti-horário por 30^\circ:
R\!\left(30^\circ\right)=\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ\\[4pt] \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[8pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
  • Rotação horário por 30^\circ (equivalente a \theta=-30^\circ):
R\!\left(-30^\circ\right)=\begin{pmatrix} \cos(-30^\circ) & -\sin(-30^\circ)\\[4pt] \sin(-30^\circ) & \cos(-30^\circ) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[8pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix},
pois \cos é par e \sin é ímpar.]

Passo 4

Calcular os vetores rotacionados aplicando as matrizes ao vetor \overrightarrow{AB}=(2,0).
  • Multiplicação geral: para \overrightarrow{v}=(2,0) e R(\theta) acima,
R(\theta)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cos\theta\\[6pt]2\sin\theta\end{pmatrix}.
  • Para \theta=+30^\circ:
R(30^\circ)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cos 30^\circ\\[6pt]2\sin 30^\circ\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt]2\cdot\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\[6pt]1\end{pmatrix}.
  • Para \theta=-30^\circ:
R(-30^\circ)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cos(-30^\circ)\\[6pt]2\sin(-30^\circ)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt]2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\[6pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Determinar as coordenadas do vértice \mathrm{C}.
  • A rotação foi feita em torno de \mathrm{A}=(0,0) (aqui A é a origem), logo o vetor \overrightarrow{AC} é exatamente o vetor rotacionado calculado. Assim as coordenadas de \mathrm{C} são \mathrm{A} + \overrightarrow{AC}.
  • Como \mathrm{A}=(0,0), as coordenadas de \mathrm{C} coincidem com os componentes do vetor rotacionado:
    • Se a rotação for anti-horário +30^\circ: \mathrm{C}=\bigl(\sqrt{3},\,1\bigr).
    • Se a rotação for horário -30^\circ: \mathrm{C}=\bigl(\sqrt{3},\,-1\bigr).
  • Observação rápida e útil para a prova: rotação preserva comprimento, então |\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}|=2. Isso bate com os vetores encontrados, pois \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.

Resposta

(a) R\!\left(30^\circ\right)=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[8pt]\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}, \qquad R\!\left(-30^\circ\right)=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[8pt]-\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}
(b) R\!\left(30^\circ\right)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\[6pt]1\end{pmatrix}, \qquad R\!\left(-30^\circ\right)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\[6pt]-1\end{pmatrix}
(c) \mathrm{C}=\bigl(\sqrt{3},\,1\bigr) ou \mathrm{C}=\bigl(\sqrt{3},\,-1\bigr)]

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