Sejam u=\left(u_{1}, u_{2}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}\right) vetores em \mathbb{R}^{2}. Seja \langle u, v\rangle=4 u_{1} v_{1}+5 u_{2} v_{2} um produto interno em \mathbb{R}^{2}. Dados os vetores u=(3,-2), v=(4,5), w=(-1,6) e o escalar k=-4, verifique que as igualdades dadas são verdadeiras.
\langle k u, v\rangle=k\langle u, v\rangle=\langle u, k v\rangle

Passo 1

O enunciado dá:
  • O produto interno em \mathbb{R}^2 definido por \langle u,v\rangle=4u_1v_1+5u_2v_2.
  • Vetores \,u=(3,-2),\;v=(4,5),\;w=(-1,6)\, (note que w não será necessário aqui).
  • Escalar k=-4.
O que pede: verificar a igualdade
\langle k u, v\rangle = k\langle u, v\rangle = \langle u, k v\rangle.

Passo 2

Explicar o que é k u e aplicar a definição do produto interno.
  • Multiplicação de vetor por escalar: se u=(u_1,u_2) então k u=(k u_1, k u_2).
  • Agora calculamos \langle k u, v\rangle usando a definição:
\langle k u, v\rangle = 4\,(k u_1)\,v_1 + 5\,(k u_2)\,v_2.
Fatorando k (propriedade distributiva e associativa da multiplicação real):
\langle k u, v\rangle = k\bigl(4 u_1 v_1 + 5 u_2 v_2\bigr).
Reconhecendo a definição original, obtemos:
\langle k u, v\rangle = k\langle u, v\rangle.
Isto mostra, de forma algébrica, a primeira igualdade.

Passo 3

Calcular \langle u, k v\rangle de forma análoga.
  • Como k v=(k v_1, k v_2), pela definição:
\langle u, k v\rangle = 4\,u_1\,(k v_1) + 5\,u_2\,(k v_2).
Fatorando k:
\langle u, k v\rangle = k\bigl(4 u_1 v_1 + 5 u_2 v_2\bigr) = k\langle u, v\rangle.
Portanto \langle u, k v\rangle = k\langle u, v\rangle.

Passo 4

Juntando os resultados algébricos dos passos anteriores:
\langle k u, v\rangle = k\langle u, v\rangle \quad\text{e}\quad \langle u, k v\rangle = k\langle u, v\rangle,
logo
\langle k u, v\rangle = k\langle u, v\rangle = \langle u, k v\rangle.
Isto já verifica a igualdade de forma geral para este produto interno.

Passo 5

Verificação numérica com os vetores e escalar dados (para ficar bem claro).
  • Calcular \langle u, v\rangle:
\langle u, v\rangle = 4\cdot 3\cdot 4 + 5\cdot(-2)\cdot 5 = 48 - 50 = -2.
  • Multiplicando por k=-4:
k\langle u, v\rangle = -4\cdot(-2) = 8.
  • Calcular k u e \langle k u, v\rangle:
k u = (-12,8), \qquad \langle k u, v\rangle = 4\cdot(-12)\cdot 4 + 5\cdot 8 \cdot 5 = -192 + 200 = 8.
  • Calcular k v e \langle u, k v\rangle:
k v = (-16,-20), \qquad \langle u, k v\rangle = 4\cdot 3\cdot(-16) + 5\cdot(-2)\cdot(-20) = -192 + 200 = 8.
Assim, numericamente todas as expressões valem 8, confirmando a igualdade.

Passo 6

Resumo didático rápido e dica para a prova:
  • A ideia principal é que o produto interno dado é bilinear (no caso real: linear em cada argumento) e simétrico; por isso é legítimo tirar o escalar k para fora da expressão em qualquer uma das entradas.
  • Em prova, mostre primeiro a fatoração algébrica (como nos passos 2–3) e, se pedirem, faça uma verificação numérica com os valores dados para dar confiança na resposta. Você já fez isso aqui e deu certo — vai tranquilo!

Resposta

\langle k u, v\rangle = k\langle u, v\rangle = \langle u, k v\rangle = 8

Exercícios relacionados