Sejam
e
vetores em
. Seja
um produto interno em
. Dados os vetores
e o escalar
, verifique que as igualdades dadas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá:
- O produto interno em
definido por . - Vetores
(note que não será necessário aqui). - Escalar
.
O que pede: verificar a igualdade
Passo 2
Explicar o que é
e aplicar a definição do produto interno.
- Multiplicação de vetor por escalar: se
então . - Agora calculamos
usando a definição:
Fatorando
(propriedade distributiva e associativa da multiplicação real):
Reconhecendo a definição original, obtemos:
Isto mostra, de forma algébrica, a primeira igualdade.
Passo 3
Calcular
de forma análoga.
- Como
, pela definição:
Fatorando
:
Portanto
.
Passo 4
Juntando os resultados algébricos dos passos anteriores:
logo
Isto já verifica a igualdade de forma geral para este produto interno.
Passo 5
Verificação numérica com os vetores e escalar dados (para ficar bem claro).
- Calcular
:
- Multiplicando por
:
- Calcular
e :
- Calcular
e :
Assim, numericamente todas as expressões valem
, confirmando a igualdade.
Passo 6
Resumo didático rápido e dica para a prova:
- A ideia principal é que o produto interno dado é bilinear (no caso real: linear em cada argumento) e simétrico; por isso é legítimo tirar o escalar
para fora da expressão em qualquer uma das entradas. - Em prova, mostre primeiro a fatoração algébrica (como nos passos 2–3) e, se pedirem, faça uma verificação numérica com os valores dados para dar confiança na resposta. Você já fez isso aqui e deu certo — vai tranquilo!