Considere o produto interno em \mathbb{R}^{2} dado por \left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}.
Calcule a norma do vetor (3,-2);

Passo 1

O enunciado nos dá um produto interno em \mathbb{R}^2 definido por
\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle = 2\,x_1x_2 + 3\,y_1y_2
e pede a norma do vetor (3,-2). Para isso, vamos usar a definição de norma induzida pelo produto interno, que é
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}.

Passo 2

Calculamos primeiro \langle (3,-2),(3,-2)\rangle. Substituindo x_1 = x_2 = 3 e y_1 = y_2 = -2, temos
\langle (3,-2),(3,-2)\rangle = 2\cdot 3\cdot 3 \;+\; 3\cdot(-2)\cdot(-2) = 2\cdot 9 \;+\; 3\cdot 4 = 18 + 12 = 30.

Passo 3

Agora aplicamos a definição da norma:
\|(3,-2)\| = \sqrt{\langle (3,-2),(3,-2)\rangle} = \sqrt{30}.

Resposta

\sqrt{30}

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