Considere o produto interno em \mathbb{R}^{2} dado por \left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}.
Calcule a distância entre os vetores (3,-2) e (-1,-1).

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 o produto interno
\langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle = 2\,x_{1}x_{2} + 3\,y_{1}y_{2}
e pede a distância entre os vetores (3,-2) e (-1,-1). A distância é dada por
d(u,v) = \|u - v\|,
onde
\|w\| = \sqrt{\langle w,w\rangle}.

Passo 2

Calculamos o vetor diferença:
(3,-2)-(-1,-1) = (3+1,\,-2+1) = (4,-1).

Passo 3

Agora encontramos o quadrado da norma via o produto interno:
\|(4,-1)\|^{2} = \langle(4,-1),(4,-1)\rangle = 2\cdot4^{2} + 3\cdot(-1)^{2} = 2\cdot16 + 3\cdot1 = 32 + 3 = 35.

Passo 4

Por fim, a distância é a raiz quadrada desse valor:
d = \sqrt{35}.

Resposta

\sqrt{35}

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